Пояснение: Функция имеет вид \( y = a \sin t + b \cos t \) с \( t=5x, a=12, b=-5 \). Множество значений такой функции - это отрезок \( [-\sqrt{a^2 + b^2}; \sqrt{a^2 + b^2}] \).
Результат: Множество значений \( E(y) = [-13; 13] \).
Ответ: \( [-13; 13] \)
2)
\( y = \cos^2 x - \sin x \)
Ответ
Решение:
Пояснение: Выразим функцию через \( \sin x \) с помощью \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \). \( y = 1 - \sin^2 x - \sin x \).
Шаг 1: Сделаем замену переменной \( t = \sin x \). Область значений \( t \) - это \( [-1; 1] \). Функция принимает вид: \( f(t) = -t^2 - t + 1 \). Это квадратичная функция (парабола, ветви вниз) на отрезке \( [-1; 1] \).
Шаг 2: Найдем вершину параболы \( t_0 \): \( t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2(-1)} = -\frac{1}{2} \). Так как \( t_0 = -\frac{1}{2} \in [-1; 1] \), наибольшее значение функции достигается в вершине.
Шаг 5: Наименьшее значение - это минимум из \( f(-1) \) и \( f(1) \): \( y_{\min} = -1 \).
Результат: Множество значений \( E(y) = [-1; \frac{5}{4}] \).
Ответ: \( [-1; \frac{5}{4}] \)
Что применять при решении
Область определения функции
Множество всех значений аргумента \( x \), при которых функция \( y=f(x) \) имеет смысл. Основные ограничения: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение четной степени должно быть неотрицательным, аргумент тангенса не должен быть равен \( \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
Множество всех значений \( y \), которые может принимать функция \( y=f(x) \). Для тригонометрических функций \( \sin x \) и \( \cos x \) область значений - это отрезок \( [-1; 1] \).
\( E(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y = f(x), x \in D(f) \} \)
Четность и нечетность функции
Функция \( f(x) \) называется четной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Функция называется нечетной, если \( f(-x) = -f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Если ни одно из условий не выполняется, функция является функцией общего вида.
Наименьший положительный период тригонометрических функций
Число \( T > 0 \) называется периодом функции \( f(x) \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Для функций \( y = \sin(kx) \) и \( y = \cos(kx) \) наименьший положительный период равен \( T = \frac{2\pi}{|k|} \). Для \( y = \operatorname{tg}(kx) \) и \( y = \operatorname{ctg}(kx) \) период равен \( T = \frac{\pi}{|k|} \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
