Пояснение: Нули функции - это значения \( x \), при которых \( y=0 \). Приравняем функцию к нулю: \( \cos^2 x - \cos x = 0 \).
Шаг 1: Вынесем общий множитель \( \cos x \): \( \cos x (\cos x - 1) = 0 \).
Шаг 2: Произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один из множителей. а) \( \cos x = 0 \). Решение: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \). б) \( \cos x - 1 = 0 \), т.е. \( \cos x = 1 \). Решение: \( x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \).
Результат: Нули функции: \( \frac{\pi}{2} + \pi n \) и \( 2\pi k, n, k \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( \frac{\pi}{2} + \pi n, 2\pi k, n, k \in \mathbb{Z} \)
2)
\( y = \cos x - \cos 2x - \sin 3x \)
Ответ
Решение:
Пояснение: Нули функции - это значения \( x \), при которых \( y=0 \). Приравняем функцию к нулю: \( \cos x - \cos 2x - \sin 3x = 0 \).
Шаг 6: Решаем два случая: а) \( \sin \frac{3x}{2} = 0 \). \( \frac{3x}{2} = \pi n \), \( x = \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} \). б) \( \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{3x}{2} = 0 \), т.е. \( \sin \frac{x}{2} = \cos \frac{3x}{2} \). \( \cos \frac{3x}{2} = \sin \left( \frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2} \right) \). \( \sin \frac{x}{2} = \sin \left( \frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2} \right) \). Это дает два подслучая: i) \( \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2} + 2\pi k \). \( \frac{4x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), \( 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \). ii) \( \frac{x}{2} = \pi - \left( \frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2} \right) + 2\pi k \). \( \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{3x}{2} + 2\pi k \), \( \frac{x}{2} - \frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), \( -x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), \( x = -\frac{\pi}{2} - 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} \).
Результат: Нули функции: \( \frac{2\pi n}{3}, \frac{\pi}{4} + \pi k, -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, n, k, m \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( \frac{2\pi n}{3}, \frac{\pi}{4} + \pi k, -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, n, k, m \in \mathbb{Z} \)
Что применять при решении
Область определения функции
Множество всех значений аргумента \( x \), при которых функция \( y=f(x) \) имеет смысл. Основные ограничения: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение четной степени должно быть неотрицательным, аргумент тангенса не должен быть равен \( \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
Множество всех значений \( y \), которые может принимать функция \( y=f(x) \). Для тригонометрических функций \( \sin x \) и \( \cos x \) область значений - это отрезок \( [-1; 1] \).
\( E(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y = f(x), x \in D(f) \} \)
Четность и нечетность функции
Функция \( f(x) \) называется четной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Функция называется нечетной, если \( f(-x) = -f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Если ни одно из условий не выполняется, функция является функцией общего вида.
Наименьший положительный период тригонометрических функций
Число \( T > 0 \) называется периодом функции \( f(x) \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Для функций \( y = \sin(kx) \) и \( y = \cos(kx) \) наименьший положительный период равен \( T = \frac{2\pi}{|k|} \). Для \( y = \operatorname{tg}(kx) \) и \( y = \operatorname{ctg}(kx) \) период равен \( T = \frac{\pi}{|k|} \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
