Выяснить, является ли функция чётной или нечётной:
1)
\( y = \sin x + \operatorname{tg} x \)
Ответ
Решение:
Пояснение: Область определения \( D(y) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z} \} \) симметрична. Проверим \( f(-x) \).
Шаг: Подставим \( -x \): \( f(-x) = \sin (-x) + \operatorname{tg} (-x) \). Используем свойства: \( \sin (-x) = -\sin x \) и \( \operatorname{tg} (-x) = -\operatorname{tg} x \). \( f(-x) = -\sin x - \operatorname{tg} x = -(\sin x + \operatorname{tg} x) = -f(x) \).
Результат: Так как \( f(-x) = -f(x) \), функция нечётная.
Ответ: Нечётная
2)
\( y = \sin x \cdot |\cos x| \)
Ответ
Решение:
Пояснение: Область определения \( D(y) = \mathbb{R} \) симметрична. Проверим \( f(-x) \).
Шаг: Подставим \( -x \): \( f(-x) = \sin (-x) \cdot |\cos (-x)| \). Используем свойства: \( \sin (-x) = -\sin x \) и \( \cos (-x) = \cos x \), поэтому \( |\cos (-x)| = |\cos x| \). \( f(-x) = -\sin x \cdot |\cos x| = -(\sin x \cdot |\cos x|) = -f(x) \).
Результат: Так как \( f(-x) = -f(x) \), функция нечётная.
Ответ: Нечётная
Что применять при решении
Область определения функции
Множество всех значений аргумента \( x \), при которых функция \( y=f(x) \) имеет смысл. Основные ограничения: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение четной степени должно быть неотрицательным, аргумент тангенса не должен быть равен \( \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
Множество всех значений \( y \), которые может принимать функция \( y=f(x) \). Для тригонометрических функций \( \sin x \) и \( \cos x \) область значений - это отрезок \( [-1; 1] \).
\( E(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y = f(x), x \in D(f) \} \)
Четность и нечетность функции
Функция \( f(x) \) называется четной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Функция называется нечетной, если \( f(-x) = -f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Если ни одно из условий не выполняется, функция является функцией общего вида.
Наименьший положительный период тригонометрических функций
Число \( T > 0 \) называется периодом функции \( f(x) \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Для функций \( y = \sin(kx) \) и \( y = \cos(kx) \) наименьший положительный период равен \( T = \frac{2\pi}{|k|} \). Для \( y = \operatorname{tg}(kx) \) и \( y = \operatorname{ctg}(kx) \) период равен \( T = \frac{\pi}{|k|} \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
