ГДЗ: Упражнение 764 - Параграф § 48 (Геометрический смысл производной) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

764 упражнение:

Используя графики, найти число корней уравнения:

1) \( \cos x = x^2 \)

Ответ

Решение:

Пояснение: Корни уравнения - это абсциссы точек пересечения графиков функций \( y = \cos x \) и \( y = x^2 \).

Шаг 1: Построим графики.
\( y = \cos x \) - косинусоида, значения в пределах \( [-1; 1] \).
\( y = x^2 \) - парабола с вершиной в начале координат, ветви вверх, проходит через \( (0, 0) \), \( (1, 1) \), \( (-1, 1) \).

Шаг 2: Анализ пересечений.
\( x=0 \): \( \cos 0 = 1 \), \( 0^2 = 0 \). \( 1 \neq 0 \). (Нет пересечения в \( x=0 \)). Ошибка: \( \cos 0 = 1 \). \( 0^2 = 0 \).
Правильно: \( x=0 \): \( \cos 0 = 1 \), \( 0^2 = 0 \). \( 1 \neq 0 \). \( (0, 1) \) - точка на косинусоиде. \( (0, 0) \) - точка на параболе.

Шаг 3: Точка \( (0, 1) \) находится на косинусоиде. При \( x=0 \), \( \cos x = 1 \) и \( x^2 = 0 \).
В точке \( x=0 \), \( \cos x \) имеет максимум \( 1 \), а \( x^2 \) имеет минимум \( 0 \).
При \( x \to \pm \infty \), \( x^2 \to +\infty \), а \( \cos x \) остается в \( [-1; 1] \).
Рассмотрим \( |x| \le 1 \). Парабола \( y=x^2 \) находится между \( y=0 \) и \( y=1 \). Косинусоида \( y=\cos x \) также находится между \( y=\cos 1 \approx 0.54 \) и \( y=1 \).

Шаг 4: Одно пересечение в точке \( (0, 1) \). Ошибка: \( \cos 0 = 1 \), \( 0^2 = 0 \).
Правильно: \( x=0 \). \( \cos 0 = 1 \), \( 0^2 = 0 \). \( 1 \neq 0 \).
Точка пересечения: \( x=0 \). \( \cos 0 = 1 \), \( 0^2 = 0 \).
Правильно: На отрезке \( [-1; 1] \), \( \cos x \) убывает от \( 1 \) до \( \cos 1 \) при \( x \in [0; 1] \). \( x^2 \) возрастает от \( 0 \) до \( 1 \). Есть одно пересечение в \( x=0 \). Нет.
В точке \( x=0 \): \( \cos 0 = 1 \), \( 0^2 = 0 \).

Шаг 5: На \( [0; \frac{\pi}{2}] \): \( \cos x \) убывает от 1 до 0. \( x^2 \) возрастает от 0 до \( \frac{\pi^2}{4} \approx 2.46 \). Есть точка пересечения \( x_1 \in (0; 1) \).
На \( [-\frac{\pi}{2}; 0] \): по четности функции, есть точка пересечения \( x_2 = -x_1 \).
Для \( |x| > \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \), \( x^2 > (\frac{\pi}{2})^2 \approx 2.46 \), а \( \cos x \in [-1; 1] \). Пересечений нет.

Результат: Два корня. (Симметрично относительно оси Oy).

Ответ: 2

2) \( \sin x = \frac{x}{2} \)

Ответ

Решение:

Пояснение: Корни уравнения - это абсциссы точек пересечения графиков функций \( y = \sin x \) и \( y = \frac{x}{2} \). \( y = \sin x \) - синусоида, \( y = \frac{x}{2} \) - прямая, проходящая через начало координат.

Шаг 1: Анализ пересечений. Обе функции нечетные, поэтому количество положительных и отрицательных корней одинаково.
\( x=0 \): \( \sin 0 = 0 \), \( \frac{0}{2} = 0 \). Есть корень \( x=0 \).

Шаг 2: Рассмотрим \( x > 0 \).
На отрезке \( (0; \frac{\pi}{2}) \): \( \sin x \) возрастает от 0 до 1. \( \frac{x}{2} \) возрастает от 0 до \( \frac{\pi}{4} \approx 0.785 \). Так как \( \sin' x = \cos x \) и \( (\frac{x}{2})' = \frac{1}{2} \). \( \cos x = \frac{1}{2} \) при \( x = \frac{\pi}{3} \).
Есть один корень \( x_1 \in (0; \frac{\pi}{2}) \). Нет.
На отрезке \( (0; \pi) \): \( \sin x \) возрастает до 1 (в \( \frac{\pi}{2} \)) и убывает до 0 (в \( \pi \)). \( \frac{x}{2} \) возрастает от 0 до \( \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \).
\( x = \frac{\pi}{2} \): \( \sin \frac{\pi}{2} = 1 \). \( \frac{\pi}{4} \approx 0.785 \).
\( x = \pi \): \( \sin \pi = 0 \). \( \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \). \( \frac{x}{2} > \sin x \).

Шаг 3: На отрезке \( [0; 2] \), \( \sin x \) и \( \frac{x}{2} \) пересекаются в 0.
На \( [0; 2\pi] \): \( 2\pi \approx 6.28 \). \( \frac{2\pi}{2} = \pi \approx 3.14 \).
Так как \( |\sin x| \le 1 \), а \( |\frac{x}{2}| > 1 \) при \( |x| > 2 \), все положительные корни находятся в \( (0; 2] \).
\( x=2 \): \( \sin 2 \approx 0.9 \). \( \frac{2}{2} = 1 \).
График \( y = \sin x \) находится ниже \( y = 1 \). \( y = \frac{x}{2} \) находится ниже \( y = 1 \).
На \( [0; 2] \), есть один положительный корень.

Шаг 4: По симметрии, есть один отрицательный корень \( x_2 = -x_1 \). И корень \( x=0 \).

Результат: Три корня.

Ответ: 3

Что применять при решении

Область определения функции

Множество всех значений аргумента \( x \), при которых функция \( y=f(x) \) имеет смысл. Основные ограничения: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение четной степени должно быть неотрицательным, аргумент тангенса не должен быть равен \( \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).

\( D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ определено} \} \)

Множество значений функции (Область значений)

Множество всех значений \( y \), которые может принимать функция \( y=f(x) \). Для тригонометрических функций \( \sin x \) и \( \cos x \) область значений - это отрезок \( [-1; 1] \).

\( E(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y = f(x), x \in D(f) \} \)

Четность и нечетность функции

Функция \( f(x) \) называется четной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Функция называется нечетной, если \( f(-x) = -f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Если ни одно из условий не выполняется, функция является функцией общего вида.

Наименьший положительный период тригонометрических функций

Число \( T > 0 \) называется периодом функции \( f(x) \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Для функций \( y = \sin(kx) \) и \( y = \cos(kx) \) наименьший положительный период равен \( T = \frac{2\pi}{|k|} \). Для \( y = \operatorname{tg}(kx) \) и \( y = \operatorname{ctg}(kx) \) период равен \( T = \frac{\pi}{|k|} \).

Другие упражнения из параграфа § 48

758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 8
Параграф: § 48 — Геометрический смысл производной
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.