ГДЗ: Упражнение 766 - Параграф § 48 (Геометрический смысл производной) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

766 упражнение:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1) \( y = \cos^4 x - \sin^4 x \)

Ответ

Решение:

Пояснение: Разложим разность квадратов: \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \).

Шаг 1: Преобразуем функцию:
\( y = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) \).

Шаг 2: Применим основные тригонометрические тождества:
\( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \).
\( \cos^2 x - \sin^2 x = \cos (2x) \).
Функция принимает вид: \( y = \cos (2x) \cdot 1 = \cos (2x) \).

Шаг 3: Множество значений \( \cos (2x) \) - это отрезок \( [-1; 1] \).

Результат: Наибольшее значение - 1, наименьшее значение - -1.

Ответ: Наибольшее: 1, наименьшее: -1

2) \( y = \sin (x + \frac{\pi}{4}) \sin (x - \frac{\pi}{4}) \)

Ответ

Решение:

Пояснение: Используем формулу произведения синусов:
\( \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} (\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)) \).

Шаг 1: Определим \( \alpha - \beta \) и \( \alpha + \beta \):
\( \alpha = x + \frac{\pi}{4}, \beta = x - \frac{\pi}{4} \).
\( \alpha - \beta = (x + \frac{\pi}{4}) - (x - \frac{\pi}{4}) = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \).
\( \alpha + \beta = (x + \frac{\pi}{4}) + (x - \frac{\pi}{4}) = 2x \).

Шаг 2: Применим формулу произведения:
\( y = \frac{1}{2} (\cos \frac{\pi}{2} - \cos (2x)) \).
Так как \( \cos \frac{\pi}{2} = 0 \):
\( y = \frac{1}{2} (0 - \cos (2x)) = -\frac{1}{2} \cos (2x) \).

Шаг 3: Множество значений \( \cos (2x) \) - это \( [-1; 1] \).
Тогда \( -1 \le \cos (2x) \le 1 \).
Умножим на \( -\frac{1}{2} \) (меняем знаки):
\( -\frac{1}{2} \cdot 1 \le -\frac{1}{2} \cos (2x) \le -\frac{1}{2} \cdot (-1) \),
\( -\frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2} \).

Результат: Наибольшее значение - \( \frac{1}{2} \), наименьшее значение - \( -\frac{1}{2} \).

Ответ: Наибольшее: \( \frac{1}{2} \), наименьшее: \( -\frac{1}{2} \)

3) \( y = 1 - 2 |\sin 3x| \)

Ответ

Решение:

Пояснение: Найдем множество значений \( |\sin 3x| \).
Так как \( -1 \le \sin 3x \le 1 \), то \( 0 \le |\sin 3x| \le 1 \).

Шаг 1: Умножим на \(-2\) (меняем знаки):
\( -2 \cdot 1 \le -2 |\sin 3x| \le -2 \cdot 0 \),
\( -2 \le -2 |\sin 3x| \le 0 \).

Шаг 2: Прибавим 1:
\( 1 - 2 \le 1 - 2 |\sin 3x| \le 1 + 0 \),
\( -1 \le y \le 1 \).

Результат: Наибольшее значение - 1, наименьшее значение - -1.

Ответ: Наибольшее: 1, наименьшее: -1

4) \( y = \sin^2 x - 2 \cos^2 x \)

Ответ

Решение:

Пояснение: Выразим функцию через одну тригонометрическую функцию, используя \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), т.е. \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \).

Шаг 1: Преобразуем функцию:
\( y = (1 - \cos^2 x) - 2 \cos^2 x = 1 - 3 \cos^2 x \).

Шаг 2: Найдем множество значений \( \cos^2 x \):
\( 0 \le \cos^2 x \le 1 \).

Шаг 3: Умножим на \(-3\) (меняем знаки):
\( -3 \cdot 1 \le -3 \cos^2 x \le -3 \cdot 0 \),
\( -3 \le -3 \cos^2 x \le 0 \).

Шаг 4: Прибавим 1:
\( 1 - 3 \le 1 - 3 \cos^2 x \le 1 + 0 \),
\( -2 \le y \le 1 \).

Результат: Наибольшее значение - 1, наименьшее значение - -2.

Ответ: Наибольшее: 1, наименьшее: -2

Что применять при решении

Область определения функции

Множество всех значений аргумента \( x \), при которых функция \( y=f(x) \) имеет смысл. Основные ограничения: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение четной степени должно быть неотрицательным, аргумент тангенса не должен быть равен \( \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).

\( D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ определено} \} \)

Множество значений функции (Область значений)

Множество всех значений \( y \), которые может принимать функция \( y=f(x) \). Для тригонометрических функций \( \sin x \) и \( \cos x \) область значений - это отрезок \( [-1; 1] \).

\( E(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y = f(x), x \in D(f) \} \)

Четность и нечетность функции

Функция \( f(x) \) называется четной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Функция называется нечетной, если \( f(-x) = -f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Если ни одно из условий не выполняется, функция является функцией общего вида.

Наименьший положительный период тригонометрических функций

Число \( T > 0 \) называется периодом функции \( f(x) \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Для функций \( y = \sin(kx) \) и \( y = \cos(kx) \) наименьший положительный период равен \( T = \frac{2\pi}{|k|} \). Для \( y = \operatorname{tg}(kx) \) и \( y = \operatorname{ctg}(kx) \) период равен \( T = \frac{\pi}{|k|} \).

Другие упражнения из параграфа § 48

758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 8
Параграф: § 48 — Геометрический смысл производной
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.