Пояснение: Перенесем \( \cos x \) влево: \( \sin x - \cos x > 0 \). Воспользуемся методом вспомогательного угла: \( a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin (x + \varphi) \).
Шаг 1: Преобразуем левую часть: \( a=1, b=-1 \). \( \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \). \( \sin x - \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right) \). Пусть \( \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} \). Тогда \( \varphi = \frac{\pi}{4} \). Неправильно: \( \sin x \cos \varphi - \cos x \sin \varphi = \sin (x - \varphi) \). \( \sin x - \cos x = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \sin x - \sin \frac{\pi}{4} \cos x \right) = \sqrt{2} \sin (x - \frac{\pi}{4}) \).
Шаг 3: Решим неравенство \( \sin t > 0 \): \( 2\pi n < t < \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \).
Шаг 4: Сделаем обратную подстановку \( t = x - \frac{\pi}{4} \): \( 2\pi n < x - \frac{\pi}{4} < \pi + 2\pi n \). Прибавим \( \frac{\pi}{4} \): \( 2\pi n + \frac{\pi}{4} < x < \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \), \( \frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \).
Результат: Решения неравенства: \( (\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{5\pi}{4} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} \).
Пояснение: Перенесем \( \sin x \) влево и выразим \( \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \): \( \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x > 0 \).
Шаг 1: Вынесем \( \sin x \) за скобки: \( \sin x \left( \frac{1}{\cos x} - 1 \right) > 0 \). \( \sin x \frac{1 - \cos x}{\cos x} > 0 \).
Шаг 2: Анализ знаков: а) \( 1 - \cos x \ge 0 \) всегда, и \( 1 - \cos x = 0 \) только при \( x = 2\pi k \). Эти точки (кроме тех, где знаменатель 0) являются нулями функции, но не решениями строгого неравенства. б) Знаменатель \( \cos x \neq 0 \), то есть \( x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \).
Шаг 3: Для строгого неравенства \( \sin x \frac{1 - \cos x}{\cos x} > 0 \), нам нужно, чтобы числитель был \( \neq 0 \), т.е. \( 1 - \cos x \neq 0 \implies x \neq 2\pi k \). Таким образом, \( \sin x \frac{\text{положительное число}}{\cos x} > 0 \), что эквивалентно: \( \frac{\sin x}{\cos x} > 0 \), т.е. \( \operatorname{tg} x > 0 \).
Шаг 4: Решаем неравенство \( \operatorname{tg} x > 0 \). Тангенс положителен в I и III четвертях. \( \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
Шаг 5: Проверим, что исключены точки \( x=2\pi k \). При \( x = \pi n \), \( \operatorname{tg} x = 0 \), что не удовлетворяет строгому неравенству. Таким образом, интервалы уже исключают эти точки.
Результат: Решения неравенства: \( (\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z} \).
Множество всех значений аргумента \( x \), при которых функция \( y=f(x) \) имеет смысл. Основные ограничения: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение четной степени должно быть неотрицательным, аргумент тангенса не должен быть равен \( \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
Множество всех значений \( y \), которые может принимать функция \( y=f(x) \). Для тригонометрических функций \( \sin x \) и \( \cos x \) область значений - это отрезок \( [-1; 1] \).
\( E(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y = f(x), x \in D(f) \} \)
Четность и нечетность функции
Функция \( f(x) \) называется четной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Функция называется нечетной, если \( f(-x) = -f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Если ни одно из условий не выполняется, функция является функцией общего вида.
Наименьший положительный период тригонометрических функций
Число \( T > 0 \) называется периодом функции \( f(x) \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Для функций \( y = \sin(kx) \) и \( y = \cos(kx) \) наименьший положительный период равен \( T = \frac{2\pi}{|k|} \). Для \( y = \operatorname{tg}(kx) \) и \( y = \operatorname{ctg}(kx) \) период равен \( T = \frac{\pi}{|k|} \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
