ГДЗ: Упражнение 1045 - § 60 (Правило произведения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Сколько различных трехзначных чисел, не имеющих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр:
1)
1, 3, 4 и 5;
Ответ
Шаг 1: Определение типа задачи.
Требуется составить трехзначные числа. Цифры должны быть разными (без повторений).
Множество цифр: \(n=4\) (цифры 1, 3, 4, 5). Число мест: \(k=3\).
Это размещения без повторений.
Шаг 2: Применение Правила произведения.
Выбор первой цифры: \(4\) способа.
Выбор второй цифры: \(3\) способа (любая из оставшихся \(4-1=3\) цифр).
Выбор третьей цифры: \(2\) способа (любая из оставшихся \(3-1=2\) цифр).
Общее количество трехзначных чисел равно \(4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\).
Шаг 3: Проверка формулой размещений без повторений.
\( A_4^3 = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \).
Ответ: 24.
2)
7, 8 и 9;
Ответ
Шаг 1: Определение типа задачи.
Требуется составить трехзначные числа с разными цифрами из множества \(\{7, 8, 9\}\).
Множество цифр: \(n=3\). Число мест: \(k=3\).
Это перестановки без повторений.
Шаг 2: Применение Правила произведения.
Выбор первой цифры: \(3\) способа.
Выбор второй цифры: \(2\) способа.
Выбор третьей цифры: \(1\) способ.
Общее количество трехзначных чисел равно \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\).
Шаг 3: Проверка формулой перестановок.
\( P_3 = 3! = 6 \).
Ответ: 6.
3)
5, 6, 7, 8 и 9;
Ответ
Шаг 1: Определение типа задачи.
Требуется составить трехзначные числа с разными цифрами из множества \(\{5, 6, 7, 8, 9\}\).
Множество цифр: \(n=5\). Число мест: \(k=3\).
Это размещения без повторений.
Шаг 2: Применение Правила произведения.
Выбор первой цифры: \(5\) способов.
Выбор второй цифры: \(4\) способа.
Выбор третьей цифры: \(3\) способа.
Общее количество трехзначных чисел равно \(5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\).
Шаг 3: Проверка формулой размещений без повторений.
\( A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \).
Ответ: 60.
4)
1, 2, 3 и 4?
Ответ
Шаг 1: Определение типа задачи.
Требуется составить трехзначные числа с разными цифрами из множества \(\{1, 2, 3, 4\}\).
Множество цифр: \(n=4\). Число мест: \(k=3\).
Это размещения без повторений.
Шаг 2: Применение Правила произведения.
Выбор первой цифры: \(4\) способа.
Выбор второй цифры: \(3\) способа.
Выбор третьей цифры: \(2\) способа.
Общее количество трехзначных чисел равно \(4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\).
Шаг 3: Проверка формулой размещений без повторений.
\( A_4^3 = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \).
Ответ: 24.
Что применять при решении
Правило произведения
Если некоторый объект \(A\) можно выбрать \(n\) способами, и при любом выборе \(A\) объект \(B\) можно выбрать \(m\) способами, то пару \((A, B)\) можно выбрать \(n \cdot m\) способами. Естественным образом обобщается на произвольное число независимо выбираемых объектов.
Число размещений без повторений
Размещениями из \(n\) элементов по \(k\) называются упорядоченные наборы из \(k\) различных элементов, выбранных из \(n\) данных. Их число вычисляется как произведение \(k\) последовательно уменьшающихся сомножителей, начиная с \(n\).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
