ГДЗ: Упражнение 1058 - Параграф § 60 (Правило произведения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1058 упражнение:

Сколько нечётных:

1) трёхзначных;

Ответ

Шаг 1: Определение типа задачи и ограничений.

Требуется составить трехзначные числа с помощью цифр \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\) (всего \(n=6\) цифр).

Ограничение 1: Число должно быть нечётным (последняя цифра \(C_3\) — нечётная: 1, 3, или 5).

Ограничение 2: Цифры можно использовать не более одного раза (без повторений).

Ограничение 3: Первая цифра \(C_1 \ne 0\).

Шаг 2: Подсчет способов для \(C_3\) (единицы).

Цифра \(C_3\): \(3\) способа (1, 3, или 5).

Шаг 3: Подсчет способов для \(C_1\) (сотни).

Цифра \(C_1\): Не может быть 0, и не может быть цифра, выбранная для \(C_3\).

Всего цифр 6. \(0\) и \(C_3\) исключены. Остается \(6-2=4\) способа.

Шаг 4: Подсчет способов для \(C_2\) (десятки).

Цифра \(C_2\): Должна быть отлична от \(C_1\) и \(C_3\).

Всего цифр 6. \(C_1\) и \(C_3\) исключены. Остается \(6-2=4\) способа.

Шаг 5: Применение Правила произведения.

Общее число нечетных трехзначных чисел: \(N = C_1 \cdot C_2 \cdot C_3 = 4 \cdot 4 \cdot 3 = 48\).

Ответ: 48.

2) четырёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если любую из них можно использовать в записи числа не более одного раза?

Ответ

Шаг 1: Определение типа задачи и ограничений.

Требуется составить четырехзначные числа с помощью цифр \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\) (\(n=6\) цифр).

Ограничение 1: Число должно быть нечётным (последняя цифра \(C_4\) — нечётная: 1, 3, или 5).

Ограничение 2: Цифры можно использовать не более одного раза (без повторений).

Ограничение 3: Первая цифра \(C_1 \ne 0\).

Шаг 2: Подсчет способов для \(C_4\) (единицы).

Цифра \(C_4\): \(3\) способа (1, 3, или 5).

Шаг 3: Подсчет способов для \(C_1\) (тысячи).

Цифра \(C_1\): Не может быть 0, и не может быть цифра, выбранная для \(C_4\).

Всего цифр 6. \(0\) и \(C_4\) исключены. Остается \(6-2=4\) способа.

Шаг 4: Подсчет способов для \(C_2\) и \(C_3\).

Цифра \(C_2\): Должна быть отлична от \(C_1\) и \(C_4\).

Всего цифр 6. \(C_1\) и \(C_4\) исключены. Остается \(6-2=4\) способа.

Цифра \(C_3\): Должна быть отлична от \(C_1, C_2, C_4\).

Всего цифр 6. \(C_1, C_2, C_4\) исключены. Остается \(6-3=3\) способа.

Шаг 5: Применение Правила произведения.

Общее число нечетных четырехзначных чисел: \(N = C_1 \cdot C_2 \cdot C_3 \cdot C_4 = 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 = 144\).

Ответ: 144.

Что применять при решении

Правило произведения

Если некоторый объект \(A\) можно выбрать \(n\) способами, и при любом выборе \(A\) объект \(B\) можно выбрать \(m\) способами, то пару \((A, B)\) можно выбрать \(n \cdot m\) способами. Естественным образом обобщается на произвольное число независимо выбираемых объектов.

Число размещений без повторений

Размещениями из \(n\) элементов по \(k\) называются упорядоченные наборы из \(k\) различных элементов, выбранных из \(n\) данных. Их число вычисляется как произведение \(k\) последовательно уменьшающихся сомножителей, начиная с \(n\).

\( A_n^k = n(n-1)\cdots(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} \)

Число перестановок без повторений

Перестановками из \(n\) элементов называются упорядоченные наборы, в которые входят все \(n\) элементов. Это частный случай размещений при \(k=n\).

\( P_n = n! \)

Число размещений с повторениями

Количество способов выбрать \(k\) элементов из \(n\) типов с повторением и учетом порядка.

\( \bar{A}_n^k = n^k \)

Другие упражнения из параграфа § 60

1043 1044 1045 1046 1047 1048 1049 1050 1051 1052 1053 1054 1055 1056 1057 1058

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 11
Параграф: § 60 — Правило произведения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.