На Горох
Разбор упражнения

ГДЗ: Упражнение 1097 - Глава 11 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Глава 11 Страницы: 333, 334, 335
А вы знали? Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word. Попробовать

1097 упражнение:

Вычислить:

1) \( \frac{7! - 5!}{5!} \)
Ответ

Шаг 1. Представление факториалов через меньший факториал.

  • Используем свойство факториала \( n! = n \cdot (n-1)! \).
  • Представим \( 7! \) как произведение \( 7 \cdot 6 \cdot 5! \).

    • Наше выражение примет вид: \( \frac{7 \cdot 6 \cdot 5! - 5!}{5!} \)

    Шаг 2. Вынесение общего множителя в числителе.

  • Общим множителем в числителе является \( 5! \).
  • Выносим его за скобки: \( \frac{5! (7 \cdot 6 - 1)}{5!} \)

    • Шаг 3. Сокращение и вычисление.

  • Сокращаем дробь на \( 5! \): \( 7 \cdot 6 - 1 \)
  • Вычисляем результат: \( 42 - 1 = 41 \)

    • Ответ: 41

    2) \( \frac{6! - 4!}{4!} \)
    Ответ

    Шаг 1. Представление факториалов через меньший факториал.

  • Используем свойство факториала \( n! = n \cdot (n-1)! \).
  • Представим \( 6! \) как произведение \( 6 \cdot 5 \cdot 4! \).

    • Наше выражение примет вид: \( \frac{6 \cdot 5 \cdot 4! - 4!}{4!} \)

    Шаг 2. Вынесение общего множителя в числителе.

  • Общим множителем в числителе является \( 4! \).
  • Выносим его за скобки: \( \frac{4! (6 \cdot 5 - 1)}{4!} \)

    • Шаг 3. Сокращение и вычисление.

  • Сокращаем дробь на \( 4! \): \( 6 \cdot 5 - 1 \)
  • Вычисляем результат: \( 30 - 1 = 29 \)

    • Ответ: 29

    3) \( \frac{149! - 36!}{148! \cdot 35!} \)
    Ответ

    Шаг 1. Разделение дроби на две.

  • Разделим исходную дробь на сумму двух дробей: \( \frac{149!}{148! \cdot 35!} - \frac{36!}{148! \cdot 35!} \)

    • Шаг 2. Упрощение первой дроби.

  • Используем свойство \( n! = n \cdot (n-1)! \). Заменяем \( 149! \) на \( 149 \cdot 148! \).
  • Первая дробь: \( \frac{149 \cdot 148!}{148! \cdot 35!} = \frac{149}{35!} \)

    • Шаг 3. Упрощение второй дроби.

  • Используем свойство \( n! = n \cdot (n-1)! \). Заменяем \( 36! \) на \( 36 \cdot 35! \).
  • Вторая дробь: \( \frac{36 \cdot 35!}{148! \cdot 35!} = \frac{36}{148!} \)

    • Шаг 4. Сборка выражения.

  • Результат: \( \frac{149}{35!} - \frac{36}{148!} \)

    • Примечание: Исходное выражение \( \frac{149! - 36!}{148! \cdot 35!} \) не имеет простого числового ответа, в отличие от вариантов 1, 2, 4-6, где деление происходит на факториал, который является сомножителем. Если в задании допущена опечатка и оно должно выглядеть как \( \frac{149! \cdot 36!}{148! \cdot 35!} \) (произведение), то ответ был бы: \( \frac{149 \cdot 148! \cdot 36 \cdot 35!}{148! \cdot 35!} = 149 \cdot 36 = 5364 \). Однако, следуя точно заданному выражению, оставляем его без дальнейших громоздких вычислений.

    Ответ: \( \frac{149}{35!} - \frac{36}{148!} \) (или 5364, если в условии опечатка: \( \frac{149! \cdot 36!}{148! \cdot 35!} \) )

    4) \( \frac{97! + 35!}{96! \cdot 34!} \)
    Ответ

    Шаг 1. Разделение дроби на две.

  • Разделим исходную дробь на сумму двух дробей: \( \frac{97!}{96! \cdot 34!} + \frac{35!}{96! \cdot 34!} \)

    • Шаг 2. Упрощение первой дроби.

  • Используем свойство \( n! = n \cdot (n-1)! \). Заменяем \( 97! \) на \( 97 \cdot 96! \).
  • Первая дробь: \( \frac{97 \cdot 96!}{96! \cdot 34!} = \frac{97}{34!} \)

    • Шаг 3. Упрощение второй дроби.

  • Используем свойство \( n! = n \cdot (n-1)! \). Заменяем \( 35! \) на \( 35 \cdot 34! \).
  • Вторая дробь: \( \frac{35 \cdot 34!}{96! \cdot 34!} = \frac{35}{96!} \)

    • Шаг 4. Сборка выражения.

  • Результат: \( \frac{97}{34!} + \frac{35}{96!} \)

    • Ответ: \( \frac{97}{34!} + \frac{35}{96!} \)

    5) \( \frac{4! \cdot 8!}{6! \cdot 7!} \)
    Ответ

    Шаг 1. Представление факториалов через меньший факториал.

  • Разложим \( 6! \) на \( 6 \cdot 5 \cdot 4! \) и \( 8! \) на \( 8 \cdot 7! \).

    • Выражение примет вид: \( \frac{4! \cdot 8 \cdot 7!}{6 \cdot 5 \cdot 4! \cdot 7!} \)

    Шаг 2. Сокращение.

  • Сокращаем на \( 4! \) и на \( 7! \).

    • Остается: \( \frac{8}{6 \cdot 5} \)

    Шаг 3. Вычисление.

  • Вычисляем результат: \( \frac{8}{30} = \frac{4}{15} \)

    • Ответ: \( \frac{4}{15} \)

    6) \( \frac{9! \cdot 5!}{7! \cdot 6!} \)
    Ответ

    Шаг 1. Представление факториалов через меньший факториал.

  • Разложим \( 9! \) на \( 9 \cdot 8 \cdot 7! \) и \( 6! \) на \( 6 \cdot 5! \).

    • Выражение примет вид: \( \frac{9 \cdot 8 \cdot 7! \cdot 5!}{7! \cdot 6 \cdot 5!} \)

    Шаг 2. Сокращение.

  • Сокращаем на \( 7! \) и на \( 5! \).

    • Остается: \( \frac{9 \cdot 8}{6} \)

    Шаг 3. Вычисление.

  • Вычисляем результат: \( \frac{72}{6} = 12 \)

    • Ответ: 12

    Что применять при решении

    Факториал

    Произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \). По определению, \( 0! = 1 \). Используется для упрощения выражений и в формулах комбинаторики.
    \( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \); \( n! = n \cdot (n-1)! \).

    Размещения

    Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов и расположить их в определенном порядке. Порядок важен.
    \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)

    Сочетания

    Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов, без учета порядка выбора. Порядок не важен.
    \( C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \)

    Свойство числа сочетаний (Сложение)

    Формула, связывающая соседние коэффициенты в треугольнике Паскаля. Упрощает вычисления сумм сочетаний.
    \( C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1} \)

    Формула бинома Ньютона

    Формула для разложения степени двучлена \( (a+b)^n \) в сумму одночленов.
    \( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k \)

    Общий член бинома Ньютона

    Формула для нахождения \( (k+1) \)-го члена разложения \( (a+b)^n \).
    \( T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k \)

    Не сходится своя задача? Разберём по шагам

    • Формула, подстановка и расчёт
    • Числа считает калькулятор, а не нейросеть
    • Бесплатно и без регистрации
    Решить задачу Разбор задачи бесплатный

    Другие упражнения из параграфа Глава 11

    1097 1098 1099 1100 1101 1102 1103 1104 1105 1106 1107 1108 1109 1110 1111 1112 1113 1114

    Данные параграфа

    К параграфу →
    Глава
    Глава 11
    Параграф
    Глава 11 — Итоговые упражнения
    Учебник
    Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
    Автор
    Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
    Год
    2025

    Задали работу по этой теме?

    Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.

    Создать проект Готовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.

    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.