А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
1109 упражнение:
Найти значение выражения, предварительно его упростив:
1)
\( C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 \)
Ответ
Шаг 1. Применение свойства суммы сочетаний.
Сумма всех сочетаний равна \( 2^n \): \( C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \ldots + C_n^n = 2^n \). Исходное выражение - это сумма сочетаний \( C_4^k \) для \( k=1, 2, 3, 4 \). Чтобы получить полную сумму \( 2^4 \), не хватает слагаемого \( C_4^0 \). Шаг 2. Вычисление.
Полная сумма: \( C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = 2^4 = 16 \). \( C_4^0 = 1 \). Искомая сумма: \( 2^4 - C_4^0 = 16 - 1 = 15 \) Ответ: 15
2)
\( C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 \)
Ответ
Шаг 1. Применение свойства суммы сочетаний.
Полная сумма: \( C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = 2^5 = 32 \). Исходное выражение: \( \left( \sum_{k=0}^{5} C_5^k \right) - C_5^0 - C_5^1 \) Шаг 2. Вычисление.
\( C_5^0 = 1 \). \( C_5^1 = 5 \). Искомая сумма: \( 32 - 1 - 5 = 26 \) Ответ: 26
3)
\( C_6^4 + C_6^5 + C_7^6 + C_7^7 \)
Ответ
Шаг 1. Группировка слагаемых по свойству сложения \( C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1} \).
\( (C_6^4 + C_6^5) + (C_7^6 + C_7^7) \) Первая скобка: \( C_6^4 + C_6^5 = C_7^5 \). Вторая скобка: \( C_7^6 + C_7^7 = C_8^7 \). Выражение: \( C_7^5 + C_8^7 \) Шаг 2. Вычисление сочетаний.
\( C_7^5 = C_7^2 = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21 \). \( C_8^7 = C_8^1 = 8 \). Шаг 3. Вычисление суммы.
\( C_7^5 + C_8^7 = 21 + 8 = 29 \) Ответ: 29
4)
\( C_6^6 + C_6^5 + C_7^6 + C_8^7 \)
Ответ
Шаг 1. Группировка слагаемых по свойству сложения.
\( (C_6^5 + C_6^6) + C_7^6 + C_8^7 \) \( C_6^5 + C_6^6 = C_7^6 \). Выражение: \( C_7^6 + C_7^6 + C_8^7 \) Группируем дальше: \( C_7^6 + (C_7^6 + C_8^7) \). Это неверно, так как \( n \) должно быть одинаковым. Шаг 2. Последовательное применение свойства сложения.
\( C_6^5 + C_6^6 = C_7^6 \) Выражение: \( C_7^6 + C_7^6 + C_8^7 \) \( 2C_7^6 + C_8^7 \) Шаг 3. Вычисление сочетаний.
\( C_7^6 = C_7^1 = 7 \). \( C_8^7 = C_8^1 = 8 \). Шаг 4. Вычисление суммы.
\( 2 \cdot 7 + 8 = 14 + 8 = 22 \) Ответ: 22
5)
\( C_{12}^2 + C_{12}^3 + C_{13}^4 + C_{14}^5 \)
Ответ
Шаг 1. Последовательное применение свойства сложения \( C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1} \).
\( C_{12}^2 + C_{12}^3 = C_{13}^3 \). Выражение: \( C_{13}^3 + C_{13}^4 + C_{14}^5 \). Снова применяем свойство сложения: \( C_{13}^3 + C_{13}^4 = C_{14}^4 \). Выражение: \( C_{14}^4 + C_{14}^5 \). Снова применяем свойство сложения: \( C_{14}^4 + C_{14}^5 = C_{15}^5 \). Шаг 2. Вычисление \( C_{15}^5 \).
\( C_{15}^5 = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \) \( \frac{15}{5 \cdot 3} = 1 \). \( \frac{12}{4} = 3 \). \( \frac{14}{2} = 7 \). \( 1 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 3 \cdot 11 = 21 \cdot 143 = 3003 \) Ответ: \( 3003 \)
6)
\( C_{6}^{3} + C_{10}^{5} + C_{6}^{4} + C_{10}^{6} + C_{11}^{6} \)
Ответ
Шаг 1. Перегруппировка слагаемых и применение свойства сложения.
Перегруппируем: \( (C_6^3 + C_6^4) + (C_{10}^5 + C_{10}^6) + C_{11}^6 \) Первая скобка: \( C_6^3 + C_6^4 = C_7^4 \). Вторая скобка: \( C_{10}^5 + C_{10}^6 = C_{11}^6 \). Выражение: \( C_7^4 + C_{11}^6 + C_{11}^6 = C_7^4 + 2 C_{11}^6 \) Шаг 2. Вычисление сочетаний.
\( C_7^4 = C_7^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 \). \( C_{11}^6 = C_{11}^5 = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 462 \). Шаг 3. Вычисление суммы.
\( 35 + 2 \cdot 462 = 35 + 924 = 959 \) Ответ: 959
7)
\( C_{21}^{20} - C_{20}^{19} \)
Ответ
Шаг 1. Упрощение слагаемых.
Используем свойство \( C_n^k = C_n^{n-k} \). \( C_{21}^{20} = C_{21}^1 = 21 \). \( C_{20}^{19} = C_{20}^1 = 20 \). Шаг 2. Вычисление разности.
\( 21 - 20 = 1 \) Ответ: 1
8)
\( C_{25}^{24} - C_{24}^{22} \)
Ответ
Шаг 1. Упрощение слагаемых.
Используем свойство \( C_n^k = C_n^{n-k} \). \( C_{25}^{24} = C_{25}^1 = 25 \). \( C_{24}^{22} = C_{24}^{24-22} = C_{24}^2 = \frac{24 \cdot 23}{2} = 12 \cdot 23 = 276 \). Шаг 2. Вычисление разности.
\( 25 - 276 = -251 \) Ответ: -251
9)
\( C_{10}^9 - C_{14}^{14} \)
Ответ
Шаг 1. Упрощение слагаемых.
Используем свойство \( C_n^k = C_n^{n-k} \): \( C_{10}^9 = C_{10}^1 = 10 \). Используем свойство \( C_n^n = 1 \): \( C_{14}^{14} = 1 \). Шаг 2. Вычисление разности.
\( 10 - 1 = 9 \) Ответ: 9
10)
\( C_{19}^{10} - C_{14}^{15} \)
Ответ
Шаг 1. Упрощение слагаемых.
\( C_{19}^{10} \) вычисляется по формуле \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \), \( C_{19}^{10} = 92378 \). Используем определение сочетаний: \( C_n^k = 0 \) при \( k > n \). В \( C_{14}^{15} \) имеем \( 15 > 14 \), следовательно, \( C_{14}^{15} = 0 \). Шаг 2. Вычисление разности.
\( C_{19}^{10} - 0 = C_{19}^{10} \). Примем, что требуется только упрощение, а не числовое вычисление, если только оно не сводится к простому числу. Ответ: \( C_{19}^{10} \) (или \( 92378 \) )
11)
\( C_{13}^7 - C_{13}^{12} \)
Ответ
Шаг 1. Упрощение второго слагаемого.
Используем свойство \( C_n^k = C_n^{n-k} \): \( C_{13}^{12} = C_{13}^1 = 13 \). Шаг 2. Упрощение первого слагаемого.
\( C_{13}^7 \) не имеет простого упрощения. \( C_{13}^7 = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 13 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 3 = 1716 \). Шаг 3. Вычисление разности.
\( 1716 - 13 = 1703 \) Ответ: 1703
12)
\( C_{13}^{13} - C_{13}^{12} \)
Ответ
Шаг 1. Упрощение слагаемых.
Используем свойство \( C_n^n = 1 \): \( C_{13}^{13} = 1 \). Используем свойство \( C_n^{n-1} = n \): \( C_{13}^{12} = 13 \). Шаг 2. Вычисление разности.
\( 1 - 13 = -12 \) Ответ: -12
Что применять при решении
Факториал
Произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \). По определению, \( 0! = 1 \). Используется для упрощения выражений и в формулах комбинаторики.
\( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \); \( n! = n \cdot (n-1)! \).
Размещения
Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов и расположить их в определенном порядке. Порядок важен.
\( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)
Сочетания
Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов, без учета порядка выбора. Порядок не важен.
\( C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \)
Свойство числа сочетаний (Сложение)
Формула, связывающая соседние коэффициенты в треугольнике Паскаля. Упрощает вычисления сумм сочетаний.
\( C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1} \)
Формула бинома Ньютона
Формула для разложения степени двучлена \( (a+b)^n \) в сумму одночленов.
\( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k \)
Общий член бинома Ньютона
Формула для нахождения \( (k+1) \)-го члена разложения \( (a+b)^n \).
\( T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k \)
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа Глава 11
Глава
Глава 11
Параграф
Глава 11 — Итоговые упражнения
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
