ГДЗ: Упражнение 1112 - Параграф Глава 11 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1112 упражнение:

В некотором государстве автомобильный номер составляется из трех различных букв алфавита, состоящего из 25 букв, и трех цифр (с их возможными повторениями). Скольким автомобилям можно присвоить получаемые таким образом номера?

1)

Ответ

Анализ задачи:

Автомобильный номер состоит из двух частей: буквенной (3 различные буквы из 25) и цифровой (3 цифры из 10 с повторениями).

Общее число номеров равно произведению числа буквенных комбинаций и числа цифровых комбинаций.

Шаг 1. Определение числа буквенных комбинаций (Размещения без повторений).

Выбираем 3 различные буквы из 25.

Число способов: \( A_{25}^3 = 25 \cdot 24 \cdot 23 = 13800 \)

Шаг 2. Определение числа цифровых комбинаций (Размещения с повторениями).

Выбираем 3 цифры (от 0 до 9, т.е. 10 вариантов) с повторениями.

Число способов: \( 10^3 = 1000 \)

Шаг 3. Общее число номеров.

\( A_{25}^3 \cdot 10^3 = 13800 \cdot 1000 = 13800000 \)

Ответ: \( 13800000 \) номеров

Что применять при решении

Факториал

Произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \). По определению, \( 0! = 1 \). Используется для упрощения выражений и в формулах комбинаторики.

\( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \); \( n! = n \cdot (n-1)! \).

Размещения

Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов и расположить их в определенном порядке. Порядок важен.

\( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)

Сочетания

Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов, без учета порядка выбора. Порядок не важен.

\( C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \)

Свойство числа сочетаний (Сложение)

Формула, связывающая соседние коэффициенты в треугольнике Паскаля. Упрощает вычисления сумм сочетаний.

\( C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1} \)

Формула бинома Ньютона

Формула для разложения степени двучлена \( (a+b)^n \) в сумму одночленов.

\( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k \)

Общий член бинома Ньютона

Формула для нахождения \( (k+1) \)-го члена разложения \( (a+b)^n \).

\( T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k \)

Другие упражнения из параграфа Глава 11

1097 1098 1099 1100 1101 1102 1103 1104 1105 1106 1107 1108 1109 1110 1111 1112 1113 1114

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 11
Параграф: Глава 11 — Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.