На Горох
Разбор упражнения

ГДЗ: Упражнение 1106 - Глава 11 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Глава 11 Страницы: 333, 334, 335
А вы знали? Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word. Попробовать

1106 упражнение:

Записать разложение бинома:

1) \( (2-x)^5 \)
Ответ

Шаг 1. Применение формулы бинома Ньютона.

  • Формула: \( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k \).
  • Здесь \( a=2 \), \( b=-x \), \( n=5 \).

    • Шаг 2. Вычисление коэффициентов \( C_5^k \).

  • \( C_5^0 = 1 \)
  • \( C_5^1 = 5 \)
  • \( C_5^2 = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 \)
  • \( C_5^3 = C_5^2 = 10 \)
  • \( C_5^4 = C_5^1 = 5 \)
  • \( C_5^5 = 1 \)

    • Шаг 3. Запись разложения.

  • \( (2-x)^5 = C_5^0 2^5 (-x)^0 + C_5^1 2^4 (-x)^1 + C_5^2 2^3 (-x)^2 + C_5^3 2^2 (-x)^3 + C_5^4 2^1 (-x)^4 + C_5^5 2^0 (-x)^5 \)
  • \( (2-x)^5 = 1 \cdot 32 \cdot 1 + 5 \cdot 16 \cdot (-x) + 10 \cdot 8 \cdot x^2 + 10 \cdot 4 \cdot (-x^3) + 5 \cdot 2 \cdot x^4 + 1 \cdot 1 \cdot (-x^5) \)
  • \( (2-x)^5 = 32 - 80x + 80x^2 - 40x^3 + 10x^4 - x^5 \)

    • Ответ: \( 32 - 80x + 80x^2 - 40x^3 + 10x^4 - x^5 \)

    2) \( (x-2)^4 \)
    Ответ

    Шаг 1. Применение формулы бинома Ньютона.

  • Здесь \( a=x \), \( b=-2 \), \( n=4 \).

    • Шаг 2. Вычисление коэффициентов \( C_4^k \).

  • \( C_4^0 = 1 \)
  • \( C_4^1 = 4 \)
  • \( C_4^2 = 6 \)
  • \( C_4^3 = 4 \)
  • \( C_4^4 = 1 \)

    • Шаг 3. Запись разложения.

  • \( (x-2)^4 = C_4^0 x^4 (-2)^0 + C_4^1 x^3 (-2)^1 + C_4^2 x^2 (-2)^2 + C_4^3 x^1 (-2)^3 + C_4^4 x^0 (-2)^4 \)
  • \( (x-2)^4 = 1 \cdot x^4 \cdot 1 + 4 \cdot x^3 \cdot (-2) + 6 \cdot x^2 \cdot 4 + 4 \cdot x \cdot (-8) + 1 \cdot 1 \cdot 16 \)
  • \( (x-2)^4 = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16 \)

    • Ответ: \( x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16 \)

    3) \( (a+3)^4 \)
    Ответ

    Шаг 1. Применение формулы бинома Ньютона.

  • Здесь \( a \) в формуле - это \( a \) в выражении, \( b=3 \), \( n=4 \).

    • Шаг 2. Вычисление коэффициентов \( C_4^k \).

  • \( C_4^0 = 1 \), \( C_4^1 = 4 \), \( C_4^2 = 6 \), \( C_4^3 = 4 \), \( C_4^4 = 1 \)

    • Шаг 3. Запись разложения.

  • \( (a+3)^4 = C_4^0 a^4 3^0 + C_4^1 a^3 3^1 + C_4^2 a^2 3^2 + C_4^3 a^1 3^3 + C_4^4 a^0 3^4 \)
  • \( (a+3)^4 = 1 \cdot a^4 \cdot 1 + 4 \cdot a^3 \cdot 3 + 6 \cdot a^2 \cdot 9 + 4 \cdot a \cdot 27 + 1 \cdot 1 \cdot 81 \)
  • \( (a+3)^4 = a^4 + 12a^3 + 54a^2 + 108a + 81 \)

    • Ответ: \( a^4 + 12a^3 + 54a^2 + 108a + 81 \)

    4) \( (3+a)^6 \)
    Ответ

    Шаг 1. Применение формулы бинома Ньютона.

  • Здесь \( a=3 \), \( b=a \), \( n=6 \).

    • Шаг 2. Вычисление коэффициентов \( C_6^k \).

  • \( C_6^0 = 1 \)
  • \( C_6^1 = 6 \)
  • \( C_6^2 = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 \)
  • \( C_6^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 \)
  • \( C_6^4 = 15 \), \( C_6^5 = 6 \), \( C_6^6 = 1 \)

    • Шаг 3. Запись разложения.

  • \( (3+a)^6 = C_6^0 3^6 a^0 + C_6^1 3^5 a^1 + C_6^2 3^4 a^2 + C_6^3 3^3 a^3 + C_6^4 3^2 a^4 + C_6^5 3^1 a^5 + C_6^6 3^0 a^6 \)
  • \( 3^6=729 \), \( 3^5=243 \), \( 3^4=81 \), \( 3^3=27 \), \( 3^2=9 \), \( 3^1=3 \), \( 3^0=1 \).
  • \( (3+a)^6 = 1 \cdot 729 + 6 \cdot 243 a + 15 \cdot 81 a^2 + 20 \cdot 27 a^3 + 15 \cdot 9 a^4 + 6 \cdot 3 a^5 + 1 \cdot a^6 \)
  • \( (3+a)^6 = 729 + 1458a + 1215a^2 + 540a^3 + 135a^4 + 18a^5 + a^6 \)

    • Ответ: \( 729 + 1458a + 1215a^2 + 540a^3 + 135a^4 + 18a^5 + a^6 \)

    5) \( (x-1)^6 \)
    Ответ

    Шаг 1. Применение формулы бинома Ньютона.

  • Здесь \( a=x \), \( b=-1 \), \( n=6 \).

    • Шаг 2. Вычисление коэффициентов \( C_6^k \).

  • \( C_6^0 = 1 \), \( C_6^1 = 6 \), \( C_6^2 = 15 \), \( C_6^3 = 20 \), \( C_6^4 = 15 \), \( C_6^5 = 6 \), \( C_6^6 = 1 \)

    • Шаг 3. Запись разложения.

  • \( (x-1)^6 = C_6^0 x^6 (-1)^0 + C_6^1 x^5 (-1)^1 + C_6^2 x^4 (-1)^2 + C_6^3 x^3 (-1)^3 + C_6^4 x^2 (-1)^4 + C_6^5 x^1 (-1)^5 + C_6^6 x^0 (-1)^6 \)
  • \( (x-1)^6 = 1 \cdot x^6 \cdot 1 + 6 \cdot x^5 \cdot (-1) + 15 \cdot x^4 \cdot 1 + 20 \cdot x^3 \cdot (-1) + 15 \cdot x^2 \cdot 1 + 6 \cdot x \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \cdot 1 \)
  • При разложении бинома с \( b=-1 \) знаки просто чередуются, начиная с плюса.
  • \( (x-1)^6 = x^6 - 6x^5 + 15x^4 - 20x^3 + 15x^2 - 6x + 1 \)

    • Ответ: \( x^6 - 6x^5 + 15x^4 - 20x^3 + 15x^2 - 6x + 1 \)

    6) \( (1-x)^7 \)
    Ответ

    Шаг 1. Применение формулы бинома Ньютона.

  • Здесь \( a=1 \), \( b=-x \), \( n=7 \).

    • Шаг 2. Вычисление коэффициентов \( C_7^k \).

  • \( C_7^0=1 \), \( C_7^1=7 \), \( C_7^2=21 \), \( C_7^3=35 \), \( C_7^4=35 \), \( C_7^5=21 \), \( C_7^6=7 \), \( C_7^7=1 \)

    • Шаг 3. Запись разложения.

  • \( (1-x)^7 = C_7^0 1^7 (-x)^0 + C_7^1 1^6 (-x)^1 + C_7^2 1^5 (-x)^2 + \ldots + C_7^7 1^0 (-x)^7 \)
  • Поскольку \( 1^k = 1 \) для любого \( k \), степени единицы опускаем. Знаки чередуются.
  • \( (1-x)^7 = 1 - 7x + 21x^2 - 35x^3 + 35x^4 - 21x^5 + 7x^6 - x^7 \)

    • Ответ: \( 1 - 7x + 21x^2 - 35x^3 + 35x^4 - 21x^5 + 7x^6 - x^7 \)

    7) \( \left( x + \frac{1}{x} \right)^6 \)
    Ответ

    Шаг 1. Применение формулы бинома Ньютона.

  • Здесь \( a=x \), \( b=\frac{1}{x} = x^{-1} \), \( n=6 \).

    • Шаг 2. Вычисление коэффициентов \( C_6^k \).

  • \( 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 \).

    • Шаг 3. Запись разложения.

  • Общий член: \( T_{k+1} = C_6^k x^{6-k} \left( \frac{1}{x} \right)^k = C_6^k x^{6-k} x^{-k} = C_6^k x^{6-2k} \).
  • k=0: \( C_6^0 x^6 = x^6 \)
  • k=1: \( C_6^1 x^4 = 6x^4 \)
  • k=2: \( C_6^2 x^2 = 15x^2 \)
  • k=3: \( C_6^3 x^0 = 20 \)
  • k=4: \( C_6^4 x^{-2} = 15x^{-2} = \frac{15}{x^2} \)
  • k=5: \( C_6^5 x^{-4} = 6x^{-4} = \frac{6}{x^4} \)
  • k=6: \( C_6^6 x^{-6} = x^{-6} = \frac{1}{x^6} \)
  • \( \left( x + \frac{1}{x} \right)^6 = x^6 + 6x^4 + 15x^2 + 20 + \frac{15}{x^2} + \frac{6}{x^4} + \frac{1}{x^6} \)

    • Ответ: \( x^6 + 6x^4 + 15x^2 + 20 + \frac{15}{x^2} + \frac{6}{x^4} + \frac{1}{x^6} \)

    8) \( \left( 2a + \frac{1}{2} \right)^6 \)
    Ответ

    Шаг 1. Применение формулы бинома Ньютона.

  • Здесь \( A=2a \), \( B=\frac{1}{2} \), \( n=6 \).

    • Шаг 2. Вычисление коэффициентов \( C_6^k \).

  • \( 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 \).

    • Шаг 3. Запись разложения.

  • Общий член: \( T_{k+1} = C_6^k (2a)^{6-k} \left( \frac{1}{2} \right)^k = C_6^k 2^{6-k} a^{6-k} 2^{-k} = C_6^k 2^{6-2k} a^{6-k} \).
  • k=0: \( C_6^0 2^6 a^6 = 1 \cdot 64 a^6 = 64 a^6 \)
  • k=1: \( C_6^1 2^4 a^5 = 6 \cdot 16 a^5 = 96 a^5 \)
  • k=2: \( C_6^2 2^2 a^4 = 15 \cdot 4 a^4 = 60 a^4 \)
  • k=3: \( C_6^3 2^0 a^3 = 20 \cdot 1 a^3 = 20 a^3 \)
  • k=4: \( C_6^4 2^{-2} a^2 = 15 \cdot \frac{1}{4} a^2 = \frac{15}{4} a^2 \)
  • k=5: \( C_6^5 2^{-4} a^1 = 6 \cdot \frac{1}{16} a = \frac{3}{8} a \)
  • k=6: \( C_6^6 2^{-6} a^0 = 1 \cdot \frac{1}{64} = \frac{1}{64} \)
  • \( \left( 2a + \frac{1}{2} \right)^6 = 64 a^6 + 96 a^5 + 60 a^4 + 20 a^3 + \frac{15}{4} a^2 + \frac{3}{8} a + \frac{1}{64} \)

    • Ответ: \( 64 a^6 + 96 a^5 + 60 a^4 + 20 a^3 + \frac{15}{4} a^2 + \frac{3}{8} a + \frac{1}{64} \)

    Что применять при решении

    Факториал

    Произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \). По определению, \( 0! = 1 \). Используется для упрощения выражений и в формулах комбинаторики.
    \( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \); \( n! = n \cdot (n-1)! \).

    Размещения

    Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов и расположить их в определенном порядке. Порядок важен.
    \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)

    Сочетания

    Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов, без учета порядка выбора. Порядок не важен.
    \( C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \)

    Свойство числа сочетаний (Сложение)

    Формула, связывающая соседние коэффициенты в треугольнике Паскаля. Упрощает вычисления сумм сочетаний.
    \( C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1} \)

    Формула бинома Ньютона

    Формула для разложения степени двучлена \( (a+b)^n \) в сумму одночленов.
    \( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k \)

    Общий член бинома Ньютона

    Формула для нахождения \( (k+1) \)-го члена разложения \( (a+b)^n \).
    \( T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k \)

    Не сходится своя задача? Разберём по шагам

    • Формула, подстановка и расчёт
    • Числа считает калькулятор, а не нейросеть
    • Бесплатно и без регистрации
    Решить задачу Разбор задачи бесплатный

    Другие упражнения из параграфа Глава 11

    1097 1098 1099 1100 1101 1102 1103 1104 1105 1106 1107 1108 1109 1110 1111 1112 1113 1114

    Данные параграфа

    К параграфу →
    Глава
    Глава 11
    Параграф
    Глава 11 — Итоговые упражнения
    Учебник
    Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
    Автор
    Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
    Год
    2025

    Задали работу по этой теме?

    Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.

    Создать проект Готовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.

    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.