ГДЗ: Упражнение 1114 - Параграф Глава 11 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1114 упражнение:

Найти член разложения бинома:

1) \( \left( \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^{15} \), содержащий \( x^3 \)

Ответ

Шаг 1. Запись общего члена разложения.

Бином: \( (A+B)^n \), где \( A=\sqrt[3]{x} = x^{1/3} \), \( B=\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2} \), \( n=15 \).

Общий член: \( T_{k+1} = C_n^k A^{n-k} B^k \).

\( T_{k+1} = C_{15}^k (x^{1/3})^{15-k} (x^{-1/2})^k = C_{15}^k x^{\frac{15-k}{3}} x^{-\frac{k}{2}} = C_{15}^k x^{5 - \frac{k}{3} - \frac{k}{2}} \)

Шаг 2. Нахождение показателя степени \( k \).

Нам нужен член, содержащий \( x^3 \). Приравниваем показатель степени \( x \) к 3:

\( 5 - \frac{k}{3} - \frac{k}{2} = 3 \)

\( 2 = \frac{k}{3} + \frac{k}{2} \)

Приводим к общему знаменателю (6): \( 2 = \frac{2k + 3k}{6} \) \( \Rightarrow \) \( 12 = 5k \) \( \Rightarrow \) \( k = \frac{12}{5} \)

Шаг 3. Анализ результата.

Поскольку \( k \) должно быть целым числом от 0 до 15, и \( k = \frac{12}{5} = 2,4 \) не является целым, то такого члена разложения не существует.

Ответ: Члена, содержащего \( x^3 \), в разложении не существует (показатель \( k \) не является целым числом).

2) \( \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \right)^{14} \), содержащий \( x^2 \)

Ответ

Шаг 1. Запись общего члена разложения.

Бином: \( (A+B)^n \), где \( A=x^{-1/2} \), \( B=x^{1/2} \), \( n=14 \).

\( T_{k+1} = C_{14}^k (x^{-1/2})^{14-k} (x^{1/2})^k = C_{14}^k x^{-\frac{14-k}{2}} x^{\frac{k}{2}} = C_{14}^k x^{-7 + \frac{k}{2} + \frac{k}{2}} = C_{14}^k x^{k-7} \)

Шаг 2. Нахождение показателя степени \( k \).

Нам нужен член, содержащий \( x^2 \). Приравниваем показатель степени \( x \) к 2:

\( k - 7 = 2 \) \( \Rightarrow \) \( k = 9 \)

Шаг 3. Нахождение искомого члена.

Искомый член: \( T_{9+1} = T_{10} \).

\( T_{10} = C_{14}^9 x^{9-7} = C_{14}^9 x^2 \)

\( C_{14}^9 = C_{14}^{14-9} = C_{14}^5 = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 14 \cdot 13 \cdot 11 = 2002 \)

Ответ: \( 2002x^2 \)

3) \( \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt[3]{x} \right)^{16} \), содержащий \( x^{-12} \)

Ответ

Шаг 1. Запись общего члена разложения.

Бином: \( (A+B)^n \), где \( A=x^{-1/2} \), \( B=x^{1/3} \), \( n=16 \).

\( T_{k+1} = C_{16}^k (x^{-1/2})^{16-k} (x^{1/3})^k = C_{16}^k x^{-\frac{16-k}{2}} x^{\frac{k}{3}} = C_{16}^k x^{-8 + \frac{k}{2} + \frac{k}{3}} \)

Показатель степени \( x \): \( -8 + \frac{3k + 2k}{6} = \frac{5k}{6} - 8 \)

Шаг 2. Нахождение показателя степени \( k \).

Нам нужен член, содержащий \( x^{-12} \). Приравниваем показатель степени \( x \) к -12:

\( \frac{5k}{6} - 8 = -12 \)

\( \frac{5k}{6} = -4 \) \( \Rightarrow \) \( 5k = -24 \) \( \Rightarrow \) \( k = -4,8 \)

Шаг 3. Анализ результата.

Поскольку \( k \) должно быть целым числом от 0 до 16, и \( k = -4,8 \) не является целым и положительным, то такого члена разложения не существует.

Примечание: Вероятно, в условии опечатка, и там должен быть член с \( x^{-3} \). Если \( \frac{5k}{6} - 8 = -3 \), то \( 5k/6 = 5 \), \( k=6 \).

Ответ: Члена, содержащего \( x^{-12} \), в разложении не существует (показатель \( k \) не является целым неотрицательным числом).

4) \( \left( \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^{13} \), содержащий \( x^{-0,6} \)

Ответ

Шаг 1. Запись общего члена разложения.

Бином: \( (A+B)^n \), где \( A=x^{1/3} \), \( B=x^{-1/2} \), \( n=13 \).

\( T_{k+1} = C_{13}^k (x^{1/3})^{13-k} (x^{-1/2})^k = C_{13}^k x^{\frac{13-k}{3}} x^{-\frac{k}{2}} = C_{13}^k x^{\frac{13}{3} - \frac{k}{3} - \frac{k}{2}} \)

Показатель степени \( x \): \( \frac{13}{3} - \frac{2k+3k}{6} = \frac{26}{6} - \frac{5k}{6} = \frac{26-5k}{6} \)

Шаг 2. Нахождение показателя степени \( k \).

Нам нужен член, содержащий \( x^{-0,6} \). \( -0,6 = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5} \).

Приравниваем показатель степени \( x \) к \( -\frac{3}{5} \):

\( \frac{26-5k}{6} = -\frac{3}{5} \)

Перемножаем крест-накрест: \( 5(26-5k) = -3 \cdot 6 \) \( \Rightarrow \) \( 130 - 25k = -18 \)

\( 130 + 18 = 25k \) \( \Rightarrow \) \( 148 = 25k \) \( \Rightarrow \) \( k = \frac{148}{25} = 5,92 \)

Шаг 3. Анализ результата.

Поскольку \( k \) должно быть целым числом от 0 до 13, и \( k = 5,92 \) не является целым, то такого члена разложения не существует.

Ответ: Члена, содержащего \( x^{-0,6} \), в разложении не существует (показатель \( k \) не является целым числом).

Что применять при решении

Факториал

Произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \). По определению, \( 0! = 1 \). Используется для упрощения выражений и в формулах комбинаторики.

\( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \); \( n! = n \cdot (n-1)! \).

Размещения

Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов и расположить их в определенном порядке. Порядок важен.

\( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)

Сочетания

Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов, без учета порядка выбора. Порядок не важен.

\( C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \)

Свойство числа сочетаний (Сложение)

Формула, связывающая соседние коэффициенты в треугольнике Паскаля. Упрощает вычисления сумм сочетаний.

\( C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1} \)

Формула бинома Ньютона

Формула для разложения степени двучлена \( (a+b)^n \) в сумму одночленов.

\( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k \)

Общий член бинома Ньютона

Формула для нахождения \( (k+1) \)-го члена разложения \( (a+b)^n \).

\( T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k \)

Другие упражнения из параграфа Глава 11

1097 1098 1099 1100 1101 1102 1103 1104 1105 1106 1107 1108 1109 1110 1111 1112 1113 1114

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 11
Параграф: Глава 11 — Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.