А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
1098 упражнение:
Упростить:
1)
\( \frac{(n+3)!}{(n+1)!} \)
Ответ
Шаг 1. Разложение большего факториала.
Используем свойство факториала: \( k! = k \cdot (k-1) \cdot (k-2)! \). Разложим числитель \( (n+3)! \) до факториала в знаменателе \( (n+1)! \): \( (n+3)! = (n+3) \cdot ((n+3)-1)! = (n+3) \cdot (n+2)! \) Продолжаем разложение: \( (n+2)! = (n+2) \cdot ((n+2)-1)! = (n+2) \cdot (n+1)! \) Таким образом, \( (n+3)! = (n+3) \cdot (n+2) \cdot (n+1)! \) Шаг 2. Сокращение.
Подставляем разложение в исходное выражение: \( \frac{(n+3) \cdot (n+2) \cdot (n+1)!}{(n+1)!} \) Сокращаем на \( (n+1)! \): \( (n+3) \cdot (n+2) \) Ответ: \( (n+3)(n+2) \) (или \( n^2 + 5n + 6 \) )
2)
\( \frac{(n+2)!}{(n-1)!} \)
Ответ
Шаг 1. Разложение большего факториала.
Используем свойство факториала: \( k! = k \cdot (k-1)! \). Разложим числитель \( (n+2)! \) до факториала в знаменателе \( (n-1)! \): \( (n+2)! = (n+2) \cdot (n+1) \cdot n \cdot (n-1)! \) Шаг 2. Сокращение.
Подставляем разложение в исходное выражение: \( \frac{(n+2) \cdot (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{(n-1)!} \) Сокращаем на \( (n-1)! \): \( n(n+1)(n+2) \) Ответ: \( n(n+1)(n+2) \) (или \( n^3 + 3n^2 + 2n \) )
3)
\( \left( \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{n!} \right) \cdot n! \)
Ответ
Шаг 1. Представление факториалов через меньший факториал.
Представим \( (n+1)! \) как \( (n+1) \cdot n! \). Выражение в скобках примет вид: \( \frac{1}{(n+1)n!} + \frac{1}{n!} \)
Шаг 2. Приведение к общему знаменателю в скобках.
Общий знаменатель: \( (n+1)n! \). Вторую дробь умножаем на \( (n+1) \): \( \frac{1}{(n+1)n!} + \frac{n+1}{(n+1)n!} = \frac{1 + (n+1)}{(n+1)n!} = \frac{n+2}{(n+1)n!} \) Шаг 3. Умножение на \( n! \) и сокращение.
Умножаем полученный результат на \( n! \): \( \frac{n+2}{(n+1)n!} \cdot n! \) Сокращаем на \( n! \): \( \frac{n+2}{n+1} \) Ответ: \( \frac{n+2}{n+1} \)
4)
\( \left( \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} \right) \cdot n! \)
Ответ
Шаг 1. Представление факториалов через меньший факториал.
Представим \( (n+1)! \) как \( (n+1) \cdot n! \). Выражение в скобках примет вид: \( \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)n!} \)
Шаг 2. Приведение к общему знаменателю в скобках.
Общий знаменатель: \( (n+1)n! \). Первую дробь умножаем на \( (n+1) \): \( \frac{n+1}{(n+1)n!} - \frac{1}{(n+1)n!} = \frac{(n+1) - 1}{(n+1)n!} = \frac{n}{(n+1)n!} \) Шаг 3. Умножение на \( n! \) и сокращение.
Умножаем полученный результат на \( n! \): \( \frac{n}{(n+1)n!} \cdot n! \) Сокращаем на \( n! \): \( \frac{n}{n+1} \) Ответ: \( \frac{n}{n+1} \)
5)
\( \left( \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+2)!} \right) \cdot (n+1)! \)
Ответ
Шаг 1. Представление факториалов через меньший факториал.
Представим \( (n+2)! \) как \( (n+2) \cdot (n+1) \cdot n! \). Выражение в скобках примет вид: \( \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+2)(n+1)n!} \)
Шаг 2. Приведение к общему знаменателю в скобках.
Общий знаменатель: \( (n+2)(n+1)n! \). Первую дробь умножаем на \( (n+2)(n+1) \): \( \frac{(n+2)(n+1)}{(n+2)(n+1)n!} - \frac{1}{(n+2)(n+1)n!} = \frac{(n^2 + 3n + 2) - 1}{(n+2)(n+1)n!} = \frac{n^2 + 3n + 1}{(n+2)(n+1)n!} \) Шаг 3. Умножение на \( (n+1)! \) и сокращение.
Умножаем полученный результат на \( (n+1)! \). Помним, что \( (n+1)! = (n+1)n! \). \( \frac{n^2 + 3n + 1}{(n+2)(n+1)n!} \cdot (n+1)n! \) Сокращаем на \( (n+1)n! \): \( \frac{n^2 + 3n + 1}{n+2} \) Ответ: \( \frac{n^2 + 3n + 1}{n+2} \)
6)
\( \frac{1}{n!} \left( \frac{1}{(n+2)!} + \frac{1}{(n+1)!} \right) \cdot (n+1)! \)
Ответ
Шаг 1. Упрощение выражения.
Выполним умножение: \( \frac{1}{n!} \cdot (n+1)! \left( \frac{1}{(n+2)!} + \frac{1}{(n+1)!} \right) \) Упростим \( \frac{(n+1)!}{n!} \). Поскольку \( (n+1)! = (n+1)n! \), то \( \frac{(n+1)!}{n!} = n+1 \). Выражение примет вид: \( (n+1) \left( \frac{1}{(n+2)!} + \frac{1}{(n+1)!} \right) \) Шаг 2. Раскрытие скобок.
\( \frac{n+1}{(n+2)!} + \frac{n+1}{(n+1)!} \) Шаг 3. Упрощение слагаемых.
Первое слагаемое: \( (n+2)! = (n+2) \cdot (n+1)! \). \( \frac{n+1}{(n+2)(n+1)!} = \frac{1}{n+2} \) Второе слагаемое: \( \frac{n+1}{(n+1)!} = \frac{n+1}{(n+1)n!} = \frac{1}{n!} \) Шаг 4. Сборка результата.
Результат: \( \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n!} \) Ответ: \( \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n!} \)
Что применять при решении
Факториал
Произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \). По определению, \( 0! = 1 \). Используется для упрощения выражений и в формулах комбинаторики.
\( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \); \( n! = n \cdot (n-1)! \).
Размещения
Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов и расположить их в определенном порядке. Порядок важен.
\( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)
Сочетания
Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов, без учета порядка выбора. Порядок не важен.
\( C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \)
Свойство числа сочетаний (Сложение)
Формула, связывающая соседние коэффициенты в треугольнике Паскаля. Упрощает вычисления сумм сочетаний.
\( C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1} \)
Формула бинома Ньютона
Формула для разложения степени двучлена \( (a+b)^n \) в сумму одночленов.
\( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k \)
Общий член бинома Ньютона
Формула для нахождения \( (k+1) \)-го члена разложения \( (a+b)^n \).
\( T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k \)
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа Глава 11
Глава
Глава 11
Параграф
Глава 11 — Итоговые упражнения
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
