А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
1099 упражнение:
Найти значение выражения:
1)
\( \frac{A_5^3}{P_4} \)
Ответ
Шаг 1. Определение формул размещений и перестановок.
Число размещений: \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \) Число перестановок: \( P_n = n! \) Шаг 2. Вычисление числителя \( A_5^3 \).
\( A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} \) \( \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \) Шаг 3. Вычисление знаменателя \( P_4 \).
\( P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \) Шаг 4. Вычисление итогового выражения.
\( \frac{A_5^3}{P_4} = \frac{60}{24} \) Сокращаем дробь: \( \frac{60}{24} = \frac{5 \cdot 12}{2 \cdot 12} = \frac{5}{2} = 2,5 \) Ответ: \( 2,5 \)
2)
\( \frac{A_8^4}{P_4} \)
Ответ
Шаг 1. Определение формул размещений и перестановок.
Число размещений: \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \) Число перестановок: \( P_n = n! \) Шаг 2. Вычисление числителя \( A_8^4 \).
\( A_8^4 = \frac{8!}{(8-4)!} = \frac{8!}{4!} \) \( \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1680 \) Шаг 3. Вычисление знаменателя \( P_4 \).
\( P_4 = 4! = 24 \) Шаг 4. Вычисление итогового выражения.
\( \frac{A_8^4}{P_4} = \frac{1680}{24} \) \( \frac{1680}{24} = 70 \) Примечание: Можно заметить, что \( \frac{A_n^k}{P_k} = \frac{n! / (n-k)!}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = C_n^k \). В данном случае, \( \frac{A_8^4}{P_4} = C_8^4 = 70 \).
Ответ: 70
3)
\( \left( \frac{C_{11}^5}{C_{11}^4} - 3 \right) \cdot P_5 \)
Ответ
Шаг 1. Упрощение отношения \( \frac{C_n^k}{C_n^{k-1}} \).
Используем свойство: \( \frac{C_n^k}{C_n^{k-1}} = \frac{n-k+1}{k} \). Для \( \frac{C_{11}^5}{C_{11}^4} \) имеем \( n=11 \) и \( k=5 \). \( \frac{C_{11}^5}{C_{11}^4} = \frac{11-5+1}{5} = \frac{7}{5} \) Шаг 2. Вычисление выражения в скобках.
\( \frac{7}{5} - 3 = \frac{7}{5} - \frac{15}{5} = -\frac{8}{5} \) Шаг 3. Вычисление \( P_5 \).
\( P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \) Шаг 4. Умножение.
\( \left( -\frac{8}{5} \right) \cdot 120 = -8 \cdot \frac{120}{5} = -8 \cdot 24 = -192 \) Ответ: -192
4)
\( \frac{P_6}{P_5} - \frac{P_4}{P_3} \)
Ответ
Шаг 1. Упрощение первой дроби \( \frac{P_6}{P_5} \).
\( \frac{P_6}{P_5} = \frac{6!}{5!} = \frac{6 \cdot 5!}{5!} = 6 \) Шаг 2. Упрощение второй дроби \( \frac{P_4}{P_3} \).
\( \frac{P_4}{P_3} = \frac{4!}{3!} = \frac{4 \cdot 3!}{3!} = 4 \) Шаг 3. Вычисление итогового выражения.
\( 6 - 4 = 2 \) Ответ: 2
5)
\( \frac{C_7^{10}}{3} + 6 \cdot \frac{C_7^6}{P_4} \)
Ответ
Шаг 1. Анализ первого слагаемого \( \frac{C_7^{10}}{3} \).
Число сочетаний \( C_n^k \) определено только при \( k \le n \). В данном случае \( k=10 \) и \( n=7 \), поэтому \( C_7^{10} = 0 \). Первое слагаемое равно 0. Шаг 2. Вычисление второго слагаемого \( 6 \cdot \frac{C_7^6}{P_4} \).
Вычисление \( C_7^6 \): Используем свойство \( C_n^k = C_n^{n-k} \). \( C_7^6 = C_7^{7-6} = C_7^1 = 7 \) Вычисление \( P_4 \): \( P_4 = 4! = 24 \) Итоговое выражение: \( 6 \cdot \frac{7}{24} \) Шаг 3. Упрощение.
\( 6 \cdot \frac{7}{24} = \frac{6 \cdot 7}{24} = \frac{42}{24} = \frac{7}{4} = 1,75 \) Шаг 4. Сборка результата.
\( 0 + \frac{7}{4} = 1,75 \) Ответ: \( 1,75 \)
6)
\( \frac{P_4}{A_6^4} \)
Ответ
Шаг 1. Определение формул перестановок и размещений.
Число перестановок: \( P_4 = 4! = 24 \) Число размещений: \( A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} \) Шаг 2. Вычисление \( A_6^4 \).
\( A_6^4 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360 \) Шаг 3. Вычисление итогового выражения.
\( \frac{P_4}{A_6^4} = \frac{24}{360} \) Сокращаем дробь: \( \frac{24}{360} = \frac{12 \cdot 2}{12 \cdot 30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \) Ответ: \( \frac{1}{15} \)
Что применять при решении
Факториал
Произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \). По определению, \( 0! = 1 \). Используется для упрощения выражений и в формулах комбинаторики.
\( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \); \( n! = n \cdot (n-1)! \).
Размещения
Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов и расположить их в определенном порядке. Порядок важен.
\( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)
Сочетания
Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов, без учета порядка выбора. Порядок не важен.
\( C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \)
Свойство числа сочетаний (Сложение)
Формула, связывающая соседние коэффициенты в треугольнике Паскаля. Упрощает вычисления сумм сочетаний.
\( C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1} \)
Формула бинома Ньютона
Формула для разложения степени двучлена \( (a+b)^n \) в сумму одночленов.
\( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k \)
Общий член бинома Ньютона
Формула для нахождения \( (k+1) \)-го члена разложения \( (a+b)^n \).
\( T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k \)
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа Глава 11
Глава
Глава 11
Параграф
Глава 11 — Итоговые упражнения
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
