ГДЗ: Упражнение 138 - § 8 (Равносильные уравнения и неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Раскрытие скобок.

• Раскроем скобки в левой части уравнения: \( 3(x + 7) = 3x + 21 \).
• Уравнение примет вид: \( 3x + 21 = 2x + 14 \).

Шаг 2: Перенос слагаемых.

• Перенесем слагаемые, содержащие \( x \), в левую часть, а числа — в правую, меняя знаки на противоположные. Это преобразование приводит к равносильному уравнению.
• \( 3x - 2x = 14 - 21 \).

Шаг 3: Упрощение и нахождение корня.

• Упростим обе части: \( x = -7 \).

Ответ: Корнем уравнения является \( x = -7 \).

Шаг 1: Определение области допустимых значений (ОДЗ).

• Уравнение содержит дробь \( \frac{1}{x^2 - 4} \). Знаменатель не должен быть равен нулю: \( x^2 - 4 \neq 0 \), что означает \( (x - 2)(x + 2) \neq 0 \).
• ОДЗ: \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \).

Шаг 2: Изоляция \( x^2 \).

• Перенесем дробь \( \frac{1}{x^2 - 4} \) из правой части в левую с противоположным знаком. Это преобразование приводит к равносильному уравнению на ОДЗ.
• \( x^2 + \frac{1}{x^2 - 4} - \frac{1}{x^2 - 4} = 4 \).
• Получаем: \( x^2 = 4 \).

Шаг 3: Нахождение корней.

• Решим квадратное уравнение: \( x^2 = 4 \), что дает \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -2 \).

Шаг 4: Проверка принадлежности корней ОДЗ.

• Полученные корни \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -2 \) не входят в ОДЗ, так как при этих значениях знаменатель \( x^2 - 4 \) обращается в ноль.
• Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: Уравнение не имеет корней.

Шаг 1: Определение области допустимых значений (ОДЗ).

• Знаменатель \( x^2 - 1 \neq 0 \), т.е. \( (x - 1)(x + 1) \neq 0 \).
• ОДЗ: \( x \neq 1 \) и \( x \neq -1 \).

Шаг 2: Умножение на общий знаменатель.

• Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \( x^2 - 1 \) (при условии, что \( x \in \text{ОДЗ} \)). Это равносильное преобразование.
• \( x - 2 = 1 - 2x \).

Шаг 3: Решение линейного уравнения.

• Перенесем слагаемые с \( x \) влево, а числа вправо: \( x + 2x = 1 + 2 \).
• Упростим: \( 3x = 3 \).
• Разделим на 3: \( x = 1 \).

Шаг 4: Проверка принадлежности корня ОДЗ.

• Корень \( x = 1 \) не входит в ОДЗ (\( x \neq 1 \)).
• Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: Уравнение не имеет корней.

Шаг 1: Определение области допустимых значений (ОДЗ).

• Знаменатели не должны быть равны нулю: \( (x - 3)(x + 2) \neq 0 \) и \( x + 2 \neq 0 \).
• ОДЗ: \( x \neq 3 \) и \( x \neq -2 \).

Шаг 2: Упрощение левой части.

• Заметим, что \( 5x - 15 = 5(x - 3) \).
• Левая часть: \( \frac{5(x - 3)}{(x - 3)(x + 2)} \).
• Для \( x \neq 3 \), можно сократить на \( x - 3 \): \( \frac{5}{x + 2} \).
• Уравнение примет вид: \( \frac{5}{x + 2} = \frac{2}{x + 2} \).

Шаг 3: Умножение на общий знаменатель.

• Умножим обе части на \( x + 2 \) (при условии, что \( x \neq -2 \)). Это равносильное преобразование на ОДЗ.
• Получаем: \( 5 = 2 \).

Шаг 4: Анализ результата.

• Равенство \( 5 = 2 \) неверно, что означает, что исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: Уравнение не имеет корней.