ГДЗ: Упражнение 148 - § 8 (Равносильные уравнения и неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Определение ОДЗ и приведение к общему знаменателю.

• Общий знаменатель: \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \).
• ОДЗ: \( x \neq 1 \) и \( x \neq -1 \).
• Приведем все к общему знаменателю \( x^2 - 1 \):
• \( \frac{3(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} - \frac{4x - 1}{x^2 - 1} = -5 \).
• Перенесем \( -5 \) влево: \( \frac{3x + 3 - (4x - 1)}{x^2 - 1} + 5 = 0 \).
• \( \frac{3x + 3 - 4x + 1}{x^2 - 1} + \frac{5(x^2 - 1)}{x^2 - 1} = 0 \).
• \( \frac{-x + 4 + 5x^2 - 5}{x^2 - 1} = 0 \).
• \( \frac{5x^2 - x - 1}{x^2 - 1} = 0 \).

Шаг 2: Решение числителя.

• Приравняем числитель к нулю: \( 5x^2 - x - 1 = 0 \).
• Найдем дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 1 + 20 = 21 \).
• Корни: \( x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 5} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{10} \).

Шаг 3: Проверка принадлежности корней ОДЗ.

• ОДЗ: \( x \neq \pm 1 \).
• \( \sqrt{21} \approx 4.58 \).
• \( x_1 = \frac{1 + \sqrt{21}}{10} \approx \frac{5.58}{10} = 0.558 \). Подходит.
• \( x_2 = \frac{1 - \sqrt{21}}{10} \approx \frac{1 - 4.58}{10} = -0.358 \). Подходит.

Ответ: Корнями уравнения являются \( x_1 = \frac{1 - \sqrt{21}}{10} \) и \( x_2 = \frac{1 + \sqrt{21}}{10} \).

Шаг 1: Определение ОДЗ и приведение к общему знаменателю.

• Общий знаменатель: \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \).
• ОДЗ: \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \).
• Приведем все к общему знаменателю:
• \( \frac{(x + 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{x(x - 4)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{4(3 + x)(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} \).

Шаг 2: Умножение на знаменатель и решение числителя.

• Умножим обе части на \( x^2 - 4 \) (при \( x \in \text{ОДЗ} \)):
• \( (x + 2)^2 - x(x - 4) = 4(3 + x)(x - 2) \).
• Раскроем скобки: \( (x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 4x) = 4 (3x - 6 + x^2 - 2x) \).
• Упростим левую часть: \( x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4x = 8x + 4 \).
• Упростим правую часть: \( 4(x^2 + x - 6) = 4x^2 + 4x - 24 \).
• Приравняем части: \( 8x + 4 = 4x^2 + 4x - 24 \).

Шаг 3: Решение квадратного уравнения.

• Перенесем все в одну сторону (например, вправо): \( 4x^2 + 4x - 8x - 24 - 4 = 0 \).
• Упростим: \( 4x^2 - 4x - 28 = 0 \).
• Разделим на 4: \( x^2 - x - 7 = 0 \).
• Найдем дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 1 + 28 = 29 \).
• Корни: \( x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2} \).

Шаг 4: Проверка принадлежности корней ОДЗ.

• ОДЗ: \( x \neq \pm 2 \).
• \( \sqrt{29} \approx 5.38 \).
• \( x_1 = \frac{1 + \sqrt{29}}{2} \approx \frac{6.38}{2} = 3.19 \). Подходит.
• \( x_2 = \frac{1 - \sqrt{29}}{2} \approx \frac{1 - 5.38}{2} = -2.19 \). Подходит.

Ответ: Корнями уравнения являются \( x_1 = \frac{1 - \sqrt{29}}{2} \) и \( x_2 = \frac{1 + \sqrt{29}}{2} \).