ГДЗ: Упражнение 143 - § 8 (Равносильные уравнения и неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Определение ОДЗ и преобразование.

• Знаменатель \( 2 + x^2 \) всегда положительный, так как \( x^2 \ge 0 \). ОДЗ: \( x \in \mathbb{R} \).
• Умножим обе части неравенства на положительное выражение \( 2 + x^2 \). Знак неравенства не изменится. Это равносильное преобразование.
• \( x + 3 < 3(2 + x^2) \).

Шаг 2: Приведение к квадратному неравенству.

• Раскроем скобки: \( x + 3 < 6 + 3x^2 \).
• Перенесем все в правую часть: \( 0 < 3x^2 + 6 - 3 - x \).
• Получим: \( 3x^2 - x + 3 > 0 \).

Шаг 3: Анализ квадратного трехчлена.

• Рассмотрим квадратный трехчлен \( y = 3x^2 - x + 3 \).
• Старший коэффициент \( a = 3 > 0 \) (парабола ветвями вверх).
• Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 1 - 36 = -35 \).
• Так как \( D < 0 \), квадратный трехчлен не имеет действительных корней.
• Поскольку \( a > 0 \) и \( D < 0 \), парабола полностью лежит выше оси \( x \).
• Следовательно, неравенство \( 3x^2 - x + 3 > 0 \) выполняется для всех действительных \( x \).

Ответ: Неравенство справедливо при всех \( x \in (-\infty; +\infty) \).

Шаг 1: Приведение к стандартному виду.

• Перенесем 1 в левую часть: \( \frac{x - 2}{5 - x} - 1 > 0 \).
• Приведем к общему знаменателю \( 5 - x \): \( \frac{x - 2}{5 - x} - \frac{1 \cdot (5 - x)}{5 - x} > 0 \).
• Объединим дроби: \( \frac{(x - 2) - (5 - x)}{5 - x} > 0 \).
• Упростим числитель: \( \frac{x - 2 - 5 + x}{5 - x} > 0 \), т.е. \( \frac{2x - 7}{5 - x} > 0 \).

Шаг 2: Умножение на \( -1 \) в знаменателе.

• Для удобства применим правило: \( \frac{A}{B} > 0 \iff A \cdot B > 0 \), или заменим \( 5 - x \) на \( - (x - 5) \).
• \( \frac{2x - 7}{-(x - 5)} > 0 \). Умножим на \( -1 \), поменяв знак неравенства: \( \frac{2x - 7}{x - 5} < 0 \).

Шаг 3: Метод интервалов.

• Нули числителя: \( 2x - 7 = 0 \implies x = 3.5 \).
• Нули знаменателя: \( x - 5 = 0 \implies x = 5 \).
• Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах.
• Интервалы: \( (-\infty; 3.5) \), \( (3.5; 5) \), \( (5; +\infty) \).
• Подставим тестовые значения (например, 0, 4, 6):
• \( x = 0: \frac{2(0) - 7}{0 - 5} = \frac{-7}{-5} = 1.4 > 0 \). Знак: "+".
• \( x = 4: \frac{2(4) - 7}{4 - 5} = \frac{1}{-1} = -1 < 0 \). Знак: "-".
• \( x = 6: \frac{2(6) - 7}{6 - 5} = \frac{5}{1} = 5 > 0 \). Знак: "+".
• Нас интересует интервал, где \( \frac{2x - 7}{x - 5} < 0 \), т.е. знак "-".

Шаг 4: Запись ответа.

• Решение: \( 3.5 < x < 5 \).

Ответ: Решением неравенства является интервал \( (3.5; 5) \).