ГДЗ: Упражнение 139 - § 8 (Равносильные уравнения и неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Уравнение 1: \( 3x - 7 = 5x + 5 \)

• Перенесем слагаемые с \( x \) влево, а числа вправо: \( 3x - 5x = 5 + 7 \).
• Упростим: \( -2x = 12 \).
• Разделим на \( -2 \): \( x = -6 \).
• Множество корней: \( \{ -6 \} \).

Уравнение 2: \( 2x + 12 = 0 \)

• Перенесем число вправо: \( 2x = -12 \).
• Разделим на \( 2 \): \( x = -6 \).
• Множество корней: \( \{ -6 \} \).

Вывод: Множества корней совпадают. Уравнения равносильны.

Уравнение 1: \( \frac{1}{2} (2x - 1) = 1 \)

• Умножим обе части на 2: \( 2x - 1 = 2 \).
• Перенесем число вправо: \( 2x = 2 + 1 \), т.е. \( 2x = 3 \).
• Разделим на 2: \( x = 1.5 \).
• Множество корней: \( \{ 1.5 \} \).

Уравнение 2: \( \frac{3x - 1}{8} = 1 \)

• Умножим обе части на 8: \( 3x - 1 = 8 \).
• Перенесем число вправо: \( 3x = 8 + 1 \), т.е. \( 3x = 9 \).
• Разделим на 3: \( x = 3 \).
• Множество корней: \( \{ 3 \} \).

Вывод: Множества корней разные (\( 1.5 \neq 3 \)). Уравнения не равносильны.

Уравнение 1: \( x^2 - 3x + 2 = 0 \)

• Решим квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант найдем корни. \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 2 \), так как \( 1 + 2 = 3 \) и \( 1 \cdot 2 = 2 \).
• Множество корней: \( \{ 1, 2 \} \).

Уравнение 2: \( x^2 + 3x + 2 = 0 \)

• Решим квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант найдем корни. \( x_1 = -1 \), \( x_2 = -2 \), так как \( (-1) + (-2) = -3 \) и \( (-1) \cdot (-2) = 2 \).
• Множество корней: \( \{ -1, -2 \} \).

Вывод: Множества корней разные. Уравнения не равносильны.

Уравнение 1: \( (x - 5)^2 = 3(x - 5) \)

• Перенесем слагаемое в левую часть: \( (x - 5)^2 - 3(x - 5) = 0 \).
• Вынесем общий множитель \( (x - 5) \): \( (x - 5) [ (x - 5) - 3 ] = 0 \).
• Упростим: \( (x - 5)(x - 8) = 0 \).
• Корни: \( x - 5 = 0 \implies x_1 = 5 \) и \( x - 8 = 0 \implies x_2 = 8 \).
• Множество корней: \( \{ 5, 8 \} \).

Уравнение 2: \( x - 5 = 3 \)

• Перенесем число вправо: \( x = 3 + 5 \).
• Корень: \( x = 8 \).
• Множество корней: \( \{ 8 \} \).

Вывод: Множества корней разные (\( \{ 5, 8 \} \neq \{ 8 \} \)). Уравнения не равносильны. Уравнение 2 является следствием уравнения 1, но не равносильно ему.

Уравнение 1: \( x^2 - 1 = 0 \)

• Разложим на множители: \( (x - 1)(x + 1) = 0 \).
• Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -1 \).
• Множество корней: \( \{ 1, -1 \} \).

Уравнение 2: \( 2x - 1 = 0 \)

• Перенесем число вправо: \( 2x = 1 \).
• Разделим на 2: \( x = \frac{1}{2} \).
• Множество корней: \( \{ 0.5 \} \).

Вывод: Множества корней разные. Уравнения не равносильны.

Уравнение 1: \( |x - 2| = -3 \)

• Модуль любого действительного числа неотрицателен, т.е. \( |x - 2| \ge 0 \).
• Равенство \( |x - 2| = -3 \) невозможно.
• Множество корней: пустое (\( \emptyset \)).

Уравнение 2: \( 3^x = (-1)^x \)

• Функция \( 3^x \) всегда положительна.
• Функция \( (-1)^x \) определена только для целых значений \( x \). Однако, даже для целых \( x \), \( (-1)^x \) может быть \( -1 \) (при нечетных \( x \)).
• Если \( x \) — целое число, то \( 3^x > 0 \). Если \( x \) — нечетное целое число, то \( (-1)^x = -1 \). Тогда \( 3^x = -1 \), что невозможно. Если \( x \) — четное целое число, то \( (-1)^x = 1 \). Тогда \( 3^x = 1 \), что выполняется только при \( x = 0 \).
• Если рассматривать \( x \) как действительное число, то \( (-1)^x \) не определено для большинства \( x \). В контексте школьной алгебры, где обычно подразумеваются действительные числа, это уравнение не имеет решений.
• Множество корней: пустое (\( \emptyset \)).

Вывод: Оба уравнения не имеют корней, то есть их множества корней совпадают (оба пустые). Уравнения равносильны.