ГДЗ: Упражнение 150 - § 8 (Равносильные уравнения и неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Для доказательства равносильности двух уравнений \( A(x) = B(x) \) и \( C(x) = D(x) \) необходимо доказать две импликации:

1. Если \( x_0 \) — корень уравнения \( f(x) = g(x) \), то \( x_0 \) — корень уравнения \( f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x) \).
2. Если \( x_0 \) — корень уравнения \( f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x) \), то \( x_0 \) — корень уравнения \( f(x) = g(x) \).

Доказательство 1: \( f(x) = g(x) \implies f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x) \)

• Пусть \( x_0 \in X \) — корень первого уравнения, то есть \( f(x_0) = g(x_0) \).
• Умножим обе части равенства \( f(x_0) = g(x_0) \) на значение \( \varphi(x_0) \).
• Получим: \( f(x_0) \cdot \varphi(x_0) = g(x_0) \cdot \varphi(x_0) \).
• Следовательно, \( x_0 \) является корнем второго уравнения.

Доказательство 2: \( f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x) \implies f(x) = g(x) \)

• Пусть \( x_0 \in X \) — корень второго уравнения, то есть \( f(x_0) \cdot \varphi(x_0) = g(x_0) \cdot \varphi(x_0) \).
• Перенесем слагаемое из правой части в левую: \( f(x_0) \cdot \varphi(x_0) - g(x_0) \cdot \varphi(x_0) = 0 \).
• Вынесем общий множитель \( \varphi(x_0) \): \( \varphi(x_0) [ f(x_0) - g(x_0) ] = 0 \).
• По условию, \( \varphi(x) \neq 0 \) для всех \( x \in X \), значит \( \varphi(x_0) \neq 0 \).
• Поскольку произведение равно нулю, а один из множителей не равен нулю, то должен быть равен нулю второй множитель: \( f(x_0) - g(x_0) = 0 \).
• Отсюда следует: \( f(x_0) = g(x_0) \).
• Следовательно, \( x_0 \) является корнем первого уравнения.

Вывод: Так как доказаны обе импликации, уравнения \( f(x) = g(x) \) и \( f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x) \) равносильны на множестве \( X \).