ГДЗ: Упражнение 140 - § 8 (Равносильные уравнения и неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Неравенство 1: \( 2x - 1 \ge 2 \)

• Перенесем число: \( 2x \ge 2 + 1 \), т.е. \( 2x \ge 3 \).
• Разделим на 2: \( x \ge 1.5 \).
• Множество решений: \( [ 1.5; +\infty ) \).

Неравенство 2: \( 2(x - 1) \ge 1 \)

• Раскроем скобки: \( 2x - 2 \ge 1 \).
• Перенесем число: \( 2x \ge 1 + 2 \), т.е. \( 2x \ge 3 \).
• Разделим на 2: \( x \ge 1.5 \).
• Множество решений: \( [ 1.5; +\infty ) \).

Вывод: Множества решений совпадают. Неравенства равносильны.

Неравенство 1: \( x(x - 1) + 2(x - 1) < 0 \)

• Вынесем общий множитель \( (x - 1) \): \( (x - 1)(x + 2) < 0 \).
• Метод интервалов: корни \( x = 1 \) и \( x = -2 \). Парабола ветвями вверх.
• Решение: \( -2 < x < 1 \).
• Множество решений: \( ( -2; 1 ) \).

Неравенство 2: \( x^2 + x < 2 \)

• Перенесем число: \( x^2 + x - 2 < 0 \).
• Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 + x - 2 = 0 \). По теореме Виета: \( x_1 = -2 \), \( x_2 = 1 \) (так как \( (-2) + 1 = -1 \) и \( (-2) \cdot 1 = -2 \)).
• Неравенство \( x^2 + x - 2 < 0 \) выполняется между корнями.
• Решение: \( -2 < x < 1 \).
• Множество решений: \( ( -2; 1 ) \).

Вывод: Множества решений совпадают. Неравенства равносильны.

Неравенство 1: \( (x - 2)(x + 1) < 0 \)

• Корни: \( x = 2 \) и \( x = -1 \).
• Неравенство выполняется между корнями.
• Решение: \( -1 < x < 2 \).
• Множество решений: \( ( -1; 2 ) \).

Неравенство 2: \( x^2 + x < 2x - 3 \)

• Перенесем слагаемые в левую часть: \( x^2 + x - 2x + 3 < 0 \).
• Упростим: \( x^2 - x + 3 < 0 \).
• Рассмотрим квадратный трехчлен \( x^2 - x + 3 \). Дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11 \).
• Так как \( D < 0 \) и старший коэффициент \( a = 1 > 0 \), парабола \( y = x^2 - x + 3 \) полностью лежит выше оси \( x \).
• Следовательно, неравенство \( x^2 - x + 3 < 0 \) не имеет решений.
• Множество решений: пустое (\( \emptyset \)).

Вывод: Множества решений разные. Неравенства не равносильны.

Неравенство 1: \( x(x + 3) \ge 2x \)

• Раскроем скобки и перенесем \( 2x \): \( x^2 + 3x - 2x \ge 0 \).
• Упростим: \( x^2 + x \ge 0 \).
• Разложим на множители: \( x(x + 1) \ge 0 \).
• Метод интервалов: корни \( x = 0 \) и \( x = -1 \). Парабола ветвями вверх.
• Решение: \( x \le -1 \) или \( x \ge 0 \).
• Множество решений: \( ( -\infty; -1 ] \cup [ 0; +\infty ) \).

Неравенство 2: \( x^2 + (x + 3) \ge 2x^2 \)

• Перенесем все в одну сторону (например, вправо, чтобы старший коэффициент был положительным): \( 0 \ge 2x^2 - x^2 - x - 3 \).
• Упростим: \( 0 \ge x^2 - x - 3 \), или \( x^2 - x - 3 \le 0 \).
• Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - x - 3 = 0 \). Дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13 \).
• Корни: \( x_1 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} \approx \frac{1 - 3.6}{2} \approx -1.3 \), \( x_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{1 + 3.6}{2} \approx 2.3 \).
• Неравенство \( x^2 - x - 3 \le 0 \) выполняется между корнями.
• Множество решений: \( [ \frac{1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{1 + \sqrt{13}}{2} ] \).

Вывод: Множества решений разные. Неравенства не равносильны.