ГДЗ: Упражнение 144 - Параграф § 8 (Равносильные уравнения и неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

144 упражнение:

Выяснить, равносильны ли уравнения (144–145).

1) \( |2x - 1| = 3 \) и \( 2x - 1 = 3 \)

Ответ

Уравнение 1: \( |2x - 1| = 3 \)

По определению модуля: \( 2x - 1 = 3 \) или \( 2x - 1 = -3 \).
Случай 1: \( 2x = 3 + 1 \implies 2x = 4 \implies x_1 = 2 \).
Случай 2: \( 2x = -3 + 1 \implies 2x = -2 \implies x_2 = -1 \).
Множество корней: \( M_1 = \{ -1, 2 \} \).

Уравнение 2: \( 2x - 1 = 3 \)

Решаем линейное уравнение: \( 2x = 4 \implies x = 2 \).
Множество корней: \( M_2 = \{ 2 \} \).

Вывод: Множества корней разные (\( M_1 \neq M_2 \)). Уравнения не равносильны.

2) \( \frac{3x - 2}{3} - \frac{4 - x}{2} = \frac{3x - 5}{6} \) и \( 2x - 2 = 10 \)

Ответ

Уравнение 1: \( \frac{3x - 2}{3} - \frac{4 - x}{2} = \frac{3x - 5}{6} \)

Общий знаменатель: 6. Умножим обе части на 6. Это равносильное преобразование.
\( 6 \cdot \frac{3x - 2}{3} - 6 \cdot \frac{4 - x}{2} = 6 \cdot \frac{3x - 5}{6} \).
\( 2(3x - 2) - 3(4 - x) = 3x - 5 \).
Раскроем скобки: \( 6x - 4 - 12 + 3x = 3x - 5 \).
Приведем подобные: \( 9x - 16 = 3x - 5 \).
Перенесем слагаемые: \( 9x - 3x = -5 + 16 \), т.е. \( 6x = 11 \).
Разделим на 6: \( x = \frac{11}{6} \).
Множество корней: \( M_1 = \{ \frac{11}{6} \} \).

Уравнение 2: \( 2x - 2 = 10 \)

Перенесем число: \( 2x = 10 + 2 \), т.е. \( 2x = 12 \).
Разделим на 2: \( x = 6 \).
Множество корней: \( M_2 = \{ 6 \} \).

Вывод: Множества корней разные (\( M_1 \neq M_2 \), так как \( \frac{11}{6} \neq 6 \)). Уравнения не равносильны.

3) \( 2x + 3 = \frac{2x + 3}{6} \) и \( 2x + 3 = 0 \)

Ответ

Уравнение 1: \( 2x + 3 = \frac{2x + 3}{6} \)

Перенесем слагаемое: \( 2x + 3 - \frac{2x + 3}{6} = 0 \).
Вынесем общий множитель \( (2x + 3) \): \( (2x + 3) \left( 1 - \frac{1}{6} \right) = 0 \).
Упростим скобку: \( 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \).
Получим: \( (2x + 3) \cdot \frac{5}{6} = 0 \).
Так как \( \frac{5}{6} \neq 0 \), то \( 2x + 3 = 0 \).
Решим: \( 2x = -3 \implies x = -1.5 \).
Множество корней: \( M_1 = \{ -1.5 \} \).

Уравнение 2: \( 2x + 3 = 0 \)

Решим: \( 2x = -3 \implies x = -1.5 \).
Множество корней: \( M_2 = \{ -1.5 \} \).

Вывод: Множества корней совпадают. Уравнения равносильны.

Что применять при решении

Равносильные уравнения (неравенства)

Уравнения (неравенства), имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными. Уравнения (неравенства), не имеющие корней, также являются равносильными.

Следствие уравнения

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого.

Преобразования, приводящие к равносильным уравнениям

Если перенести член уравнения из одной части в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения возвести в нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения \( f(x) = g(x) \) умножить на выражение \( \varphi(x) \), которое имеет смысл при всех значениях \( x \) из области определения уравнения и \( \varphi(x) \neq 0 \), то получится уравнение \( f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x) \), равносильное данному.

Преобразования, приводящие к уравнениям-следствиям

Возведение обеих частей уравнения в четную степень может привести к уравнению-следствию, т.е. могут появиться посторонние корни. При умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную, также могут появиться посторонние корни.

Равносильные неравенства

Неравенства \( f(x) > g(x) \) и \( \varphi(x) > \psi(x) \) равносильны, если множества их решений совпадают. Например, неравенства \( x^2 > 0 \) и \( x \neq 0 \) равносильны.

Другие упражнения из параграфа § 8

138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 2
Параграф: § 8 — Равносильные уравнения и неравенства
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.