ГДЗ: Упражнение 145 - § 8 (Равносильные уравнения и неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Вывод: Множества корней совпадают. Уравнения равносильны.
4)
\( \sqrt{x + 2} = 3 \) и \( x + 2 = 9 \)
Ответ
Уравнение 1: \( \sqrt{x + 2} = 3 \)
ОДЗ: \( x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2 \).
Возведем обе части в квадрат: \( (\sqrt{x + 2})^2 = 3^2 \).
Получим: \( x + 2 = 9 \).
Решим: \( x = 9 - 2 \implies x = 7 \).
Проверка ОДЗ: \( 7 \ge -2 \) (подходит).
Множество корней: \( M_1 = \{ 7 \} \).
Уравнение 2: \( x + 2 = 9 \)
Решим: \( x = 7 \).
Множество корней: \( M_2 = \{ 7 \} \).
Вывод: Множества корней совпадают. Уравнения равносильны. (В данном случае возведение в квадрат не привело к появлению посторонних корней, так как правая часть исходного уравнения неотрицательна).
Что применять при решении
Равносильные уравнения (неравенства)
Уравнения (неравенства), имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными. Уравнения (неравенства), не имеющие корней, также являются равносильными.
Следствие уравнения
Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого.
Преобразования, приводящие к равносильным уравнениям
Если перенести член уравнения из одной части в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения возвести в нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения \( f(x) = g(x) \) умножить на выражение \( \varphi(x) \), которое имеет смысл при всех значениях \( x \) из области определения уравнения и \( \varphi(x) \neq 0 \), то получится уравнение \( f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x) \), равносильное данному.
Преобразования, приводящие к уравнениям-следствиям
Возведение обеих частей уравнения в четную степень может привести к уравнению-следствию, т.е. могут появиться посторонние корни. При умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную, также могут появиться посторонние корни.
Равносильные неравенства
Неравенства \( f(x) > g(x) \) и \( \varphi(x) > \psi(x) \) равносильны, если множества их решений совпадают. Например, неравенства \( x^2 > 0 \) и \( x \neq 0 \) равносильны.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
