ГДЗ: Упражнение 142 - § 8 (Равносильные уравнения и неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Определение ОДЗ и приведение к общему знаменателю.

• Общий знаменатель: \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \).
• ОДЗ: \( x \neq 1 \) и \( x \neq -1 \).
• Приведем левую часть к общему знаменателю: \( \frac{x(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} + \frac{2x(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{4x}{x^2 - 1} \).
• \( \frac{x^2 - x + 2x^2 + 2x}{x^2 - 1} = \frac{4x}{x^2 - 1} \).

Шаг 2: Умножение на знаменатель и решение числителя.

• Умножим обе части на \( x^2 - 1 \) (при \( x \in \text{ОДЗ} \)). Это равносильное преобразование.
• \( 3x^2 + x = 4x \).
• Перенесем \( 4x \) влево: \( 3x^2 + x - 4x = 0 \), т.е. \( 3x^2 - 3x = 0 \).
• Вынесем общий множитель \( 3x \): \( 3x(x - 1) = 0 \).

Шаг 3: Нахождение корней.

• Корни: \( 3x = 0 \implies x_1 = 0 \) и \( x - 1 = 0 \implies x_2 = 1 \).

Шаг 4: Проверка принадлежности корней ОДЗ.

• Корень \( x_1 = 0 \) принадлежит ОДЗ.
• Корень \( x_2 = 1 \) не принадлежит ОДЗ (\( x \neq 1 \)). Это посторонний корень.

Ответ: Корнем уравнения является \( x = 0 \).

Шаг 1: Определение ОДЗ.

• Знаменатель \( x - 2 \neq 0 \).
• ОДЗ: \( x \neq 2 \).

Шаг 2: Умножение на знаменатель.

• Умножим обе части на \( x - 2 \) (при \( x \in \text{ОДЗ} \)). Это равносильное преобразование.
• \( x - 1 = 1 \).

Шаг 3: Решение линейного уравнения.

• Перенесем число: \( x = 1 + 1 \).
• Корень: \( x = 2 \).

Шаг 4: Проверка принадлежности корня ОДЗ.

• Корень \( x = 2 \) не принадлежит ОДЗ (\( x \neq 2 \)).

Ответ: Уравнение не имеет корней.

Шаг 1: Приведение к стандартному виду.

• Перенесем правую часть влево: \( (x - 3)(x - 5) - 3(x - 5) = 0 \).

Шаг 2: Разложение на множители.

• Вынесем общий множитель \( (x - 5) \): \( (x - 5) [ (x - 3) - 3 ] = 0 \).
• Упростим: \( (x - 5)(x - 6) = 0 \).

Шаг 3: Нахождение корней.

• Приравняем каждый множитель к нулю:
• \( x - 5 = 0 \implies x_1 = 5 \).
• \( x - 6 = 0 \implies x_2 = 6 \).

Ответ: Корнями уравнения являются \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = 6 \).

Шаг 1: Приведение к стандартному виду.

• Перенесем правую часть влево: \( (x - 2)(x^2 + 1) - 2(x^2 + 1) = 0 \).

Шаг 2: Разложение на множители.

• Вынесем общий множитель \( (x^2 + 1) \): \( (x^2 + 1) [ (x - 2) - 2 ] = 0 \).
• Упростим: \( (x^2 + 1)(x - 4) = 0 \).

Шаг 3: Нахождение корней.

• Разберем множители:
• Множитель \( x^2 + 1 \): уравнение \( x^2 + 1 = 0 \) не имеет действительных корней, так как \( x^2 \ge 0 \implies x^2 + 1 \ge 1 \).
• Множитель \( x - 4 \): \( x - 4 = 0 \implies x = 4 \).

Ответ: Корнем уравнения является \( x = 4 \).