Шаг 1: Представим основание и логарифмируемое число в виде степеней: \( \frac{1}{3} = 3^{-1} \), \( 169 = 13^2 \). Выражение примет вид:
\( \log_{3^{-1}} \sqrt[4]{13^2} = \log_{3^{-1}} 13^{\frac{2}{4}} = \log_{3^{-1}} 13^{\frac{1}{2}} \)
Шаг 2: Применим свойство: \( \log_{a^p} b^r = \frac{r}{p} \log_a b \). Здесь \( a = 3 \), \( p = -1 \), \( b = 13 \), \( r = \frac{1}{2} \).
\( \log_{3^{-1}} 13^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{-1} \log_3 13 = -\frac{1}{2} \log_3 13 \)
Шаг 3 (Проверка условия в учебнике): В условии, вероятно, опечатка, и должно быть \( \sqrt[4]{81} \), \( \sqrt[4]{9} \), или \( 169 \) должно быть степенью \( 3 \), либо основание должно быть \( 13 \). Если считать, что условие должно быть вычислимым, как целое число, предположим, что должно быть \( \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[4]{\frac{1}{9}} \).
Если условие \( \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[4]{9} \):
\( \log_{3^{-1}} 9^{\frac{1}{4}} = \log_{3^{-1}} (3^2)^{\frac{1}{4}} = \log_{3^{-1}} 3^{\frac{2}{4}} = \log_{3^{-1}} 3^{\frac{1}{2}} \)
\( = \frac{\frac{1}{2}}{-1} \log_3 3 = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2} \)
Возвращаемся к исходному условию, так как задача 292 (1) не вычислима без калькулятора.
Условие: \( \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[4]{169} \)
Ответ в развернутом виде: \( -\frac{1}{2} \log_3 13 \)
Ответ: \( -\frac{1}{2} \log_3 13 \) (Поскольку ожидается числовой ответ, возможно, была опечатка в оригинальном учебнике, и его следует оставить в таком виде.)