ГДЗ: Упражнение 294 - Параграф § 16 (Свойства логарифмов) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

294 упражнение:

Вычислить:

1) \( \frac{\log_3 8}{\log_3 16} \)

Ответ

Шаг 1: Применим формулу перехода к новому основанию в обратную сторону: \( \frac{\log_p b}{\log_p a} = \log_a b \). Здесь \( p = 3 \), \( a = 16 \), \( b = 8 \).

\( \frac{\log_3 8}{\log_3 16} = \log_{16} 8 \)

Шаг 2: Представим основание \( 16 \) и логарифмируемое число \( 8 \) как степени числа \( 2 \): \( 16 = 2^4 \), \( 8 = 2^3 \).

\( \log_{2^4} 2^3 \)

Шаг 3: Используем свойство \( \log_{a^p} b^r = \frac{r}{p} \log_a b \).

\( \frac{3}{4} \log_2 2 = \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4} \)

Ответ: \( \frac{3}{4} \)

2) \( \frac{\log_5 27}{\log_5 9} \)

Ответ

Шаг 1: Применим формулу перехода к новому основанию в обратную сторону: \( \frac{\log_p b}{\log_p a} = \log_a b \). Здесь \( p = 5 \), \( a = 9 \), \( b = 27 \).

\( \frac{\log_5 27}{\log_5 9} = \log_9 27 \)

Шаг 2: Представим основание \( 9 \) и логарифмируемое число \( 27 \) как степени числа \( 3 \): \( 9 = 3^2 \), \( 27 = 3^3 \).

\( \log_{3^2} 3^3 \)

Шаг 3: Используем свойство \( \log_{a^p} b^r = \frac{r}{p} \log_a b \).

\( \frac{3}{2} \log_3 3 = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} \)

Ответ: \( \frac{3}{2} \)

3) \( \frac{\log_9 36 - \log_9 5}{\log_9 12 - \log_9 5} \)

Ответ

Шаг 1: Упростим числитель, используя формулу логарифма частного: \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \).

Числитель: \( \log_9 36 - \log_9 5 = \log_9 \frac{36}{5} \)

Шаг 2: Упростим знаменатель, используя формулу логарифма частного.

Знаменатель: \( \log_9 12 - \log_9 5 = \log_9 \frac{12}{5} \)

Дробь примет вид:

\( \frac{\log_9 \frac{36}{5}}{\log_9 \frac{12}{5}} \)

Шаг 3: Применим формулу перехода к новому основанию в обратную сторону: \( \frac{\log_p b}{\log_p a} = \log_a b \). Здесь \( p = 9 \), \( a = \frac{12}{5} \), \( b = \frac{36}{5} \).

\( \log_{\frac{12}{5}} \frac{36}{5} \)

Шаг 4 (Проверка условия в учебнике): Вероятно, в условии опечатка, и должно быть \( \frac{\log_9 36 - \log_9 12}{\log_9 5 - \log_9 5} \), или другой набор чисел, приводящий к целому числу. Если предположить, что в знаменателе должно быть \( \log_9 12 - \log_9 4 = \log_9 3 \), тогда ответ будет другим.

Предположим, что в числителе \( \log_9 36 - \log_9 12 = \log_9 3 \), а в знаменателе \( \log_9 12 - \log_9 4 = \log_9 3 \). Тогда \( \frac{\log_9 3}{\log_9 3} = 1 \). Но это догадка.

Возвращаемся к исходному условию. Выражение не упрощается до целого числа или простой дроби.

\( \log_{\frac{12}{5}} \frac{36}{5} \)

Ответ: \( \log_{\frac{12}{5}} \frac{36}{5} \)

4) \( \frac{\log_7 8}{\log_7 15 - \log_7 30} \)

Ответ

Шаг 1: Упростим знаменатель, используя формулу логарифма частного: \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \).

Знаменатель: \( \log_7 15 - \log_7 30 = \log_7 \frac{15}{30} = \log_7 \frac{1}{2} \)

Дробь примет вид:

\( \frac{\log_7 8}{\log_7 \frac{1}{2}} \)

Шаг 2: Применим формулу перехода к новому основанию в обратную сторону: \( \frac{\log_p b}{\log_p a} = \log_a b \). Здесь \( p = 7 \), \( a = \frac{1}{2} \), \( b = 8 \).

\( \log_{\frac{1}{2}} 8 \)

Шаг 3: Представим основание \( \frac{1}{2} \) и логарифмируемое число \( 8 \) как степени числа \( 2 \): \( \frac{1}{2} = 2^{-1} \), \( 8 = 2^3 \).

\( \log_{2^{-1}} 2^3 \)

Шаг 4: Используем свойство \( \log_{a^p} b^r = \frac{r}{p} \log_a b \).

\( \frac{3}{-1} \log_2 2 = -3 \cdot 1 = -3 \)

Ответ: \( -3 \)

Что применять при решении

Основное логарифмическое тождество

Степень, основание которой равно основанию логарифма, а показатель равен логарифму числа по этому основанию, равна самому числу.

\( a^{\log_a b} = b \)

Логарифм произведения

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию. Основание логарифма должно быть положительным и отличным от единицы.

\( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \)

Логарифм частного (дроби)

Логарифм частного (дроби) двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел по тому же основанию.

\( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \)

Логарифм степени

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

\( \log_a b^r = r \log_a b \)

Формула перехода к новому основанию

Логарифм числа b по основанию a равен отношению логарифма числа b по новому основанию p к логарифму числа a по новому основанию p. Обычно используется для преобразований и вычислений.

\( \log_a b = \frac{\log_p b}{\log_p a} \)

Логарифм по основанию, являющемуся степенью

Свойство, позволяющее выносить показатель степени основания логарифма как множитель, обратный показателю.

\( \log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b \)

Другие упражнения из параграфа § 16

290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 4
Параграф: § 16 — Свойства логарифмов
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.