На Горох
Разбор упражнения

ГДЗ: Упражнение 293 - § 16 (Свойства логарифмов) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Глава 4 Страницы: 94, 95, 96
А вы знали? Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word. Попробовать

293 упражнение:

Вычислить:

1) \( \log_8 12 - \log_8 15 + \log_8 20 \)
Ответ

Шаг 1: Объединим первые два логарифма по формуле логарифма частного: \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \).

  • \( (\log_8 12 - \log_8 15) + \log_8 20 = \log_8 \left( \frac{12}{15} \right) + \log_8 20 \)

    • Шаг 2: Сократим дробь \( \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \).

  • \( \log_8 \frac{4}{5} + \log_8 20 \)

    • Шаг 3: Применим формулу логарифма произведения: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) \).

  • \( \log_8 \left( \frac{4}{5} \cdot 20 \right) \)

    • Шаг 4: Выполним умножение: \( \frac{4}{5} \cdot 20 = 4 \cdot 4 = 16 \).

  • \( \log_8 16 \)

    • Шаг 5: Представим основание \( 8 \) и логарифмируемое число \( 16 \) как степени числа \( 2 \): \( 8 = 2^3 \), \( 16 = 2^4 \). Воспользуемся свойством \( \log_{a^p} b^r = \frac{r}{p} \log_a b \) с \( a = 2 \), \( p = 3 \), \( b = 2 \), \( r = 4 \).

  • \( \log_{2^3} 2^4 = \frac{4}{3} \log_2 2 = \frac{4}{3} \cdot 1 = \frac{4}{3} \)

    • Ответ: \( \frac{4}{3} \)

    2) \( \log_9 15 + \log_9 18 - \log_9 10 \)
    Ответ

    Шаг 1: Объединим первые два логарифма по формуле логарифма произведения: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) \).

  • \( (\log_9 15 + \log_9 18) - \log_9 10 = \log_9 (15 \cdot 18) - \log_9 10 \)

    • Шаг 2: Выполним умножение \( 15 \cdot 18 = 270 \).

  • \( \log_9 270 - \log_9 10 \)

    • Шаг 3: Применим формулу логарифма частного: \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \).

  • \( \log_9 \left( \frac{270}{10} \right) = \log_9 27 \)

    • Шаг 4: Представим основание \( 9 \) и логарифмируемое число \( 27 \) как степени числа \( 3 \): \( 9 = 3^2 \), \( 27 = 3^3 \). Воспользуемся свойством \( \log_{a^p} b^r = \frac{r}{p} \log_a b \) с \( a = 3 \), \( p = 2 \), \( b = 3 \), \( r = 3 \).

  • \( \log_{3^2} 3^3 = \frac{3}{2} \log_3 3 = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} \)

    • Ответ: \( \frac{3}{2} \)

    3) \( \log_7 36 - \log_7 14 - 3 \log_7 \frac{\sqrt[3]{21}}{2} \)
    Ответ

    Шаг 1: Преобразуем третье слагаемое, используя свойство логарифма степени \( r \log_a b = \log_a b^r \).

  • \( 3 \log_7 \frac{\sqrt[3]{21}}{2} = \log_7 \left( \frac{\sqrt[3]{21}}{2} \right)^3 = \log_7 \frac{(\sqrt[3]{21})^3}{2^3} = \log_7 \frac{21}{8} \)

    • Исходное выражение примет вид:

  • \( \log_7 36 - \log_7 14 - \log_7 \frac{21}{8} \)

    • Шаг 2: Объединим все логарифмы по формулам логарифма частного: \( \log_a b - \log_a c - \log_a d = \log_a \frac{b}{c \cdot d} \).

  • \( \log_7 \left( \frac{36}{14 \cdot \frac{21}{8}} \right) \)

    • Шаг 3: Выполним умножение и деление внутри скобок.

  • Знаменатель: \( 14 \cdot \frac{21}{8} = \frac{14 \cdot 21}{8} = \frac{7 \cdot 21}{4} = \frac{147}{4} \)

  • Дробь: \( \frac{36}{\frac{147}{4}} = 36 \cdot \frac{4}{147} = \frac{144}{147} \)

    • Шаг 4: Упростим дробь \( \frac{144}{147} \). Обе части делятся на \( 3 \): \( 144 / 3 = 48 \), \( 147 / 3 = 49 \).

  • \( \log_7 \frac{48}{49} \)

    • Шаг 5: Применим формулу логарифма частного, так как \( 49 = 7^2 \).

  • \( \log_7 48 - \log_7 49 = \log_7 48 - \log_7 7^2 = \log_7 48 - 2 \log_7 7 = \log_7 48 - 2 \)

    • Ответ: \( \log_7 48 - 2 \)

    4) \( 2 \log_6 \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log_6 400 + 3 \log_6 \sqrt[3]{45} \)
    Ответ

    Шаг 1: Преобразуем каждое слагаемое, используя свойство логарифма степени \( r \log_a b = \log_a b^r \).

  • Первое слагаемое: \( 2 \log_6 \frac{1}{2} = \log_6 \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \log_6 \frac{1}{4} \)

  • Второе слагаемое: \( \frac{1}{2} \log_6 400 = \log_6 400^{\frac{1}{2}} = \log_6 \sqrt{400} = \log_6 20 \)

  • Третье слагаемое: \( 3 \log_6 \sqrt[3]{45} = \log_6 (45^{\frac{1}{3}})^3 = \log_6 45 \)

    • Исходное выражение примет вид:

  • \( \log_6 \frac{1}{4} + \log_6 20 + \log_6 45 \)

    • Шаг 2: Объединим все логарифмы по формуле логарифма произведения: \( \log_a b + \log_a c + \log_a d = \log_a (bcd) \).

  • \( \log_6 \left( \frac{1}{4} \cdot 20 \cdot 45 \right) \)

    • Шаг 3: Выполним умножение внутри скобок.

  • \( \frac{1}{4} \cdot 20 \cdot 45 = (\frac{20}{4}) \cdot 45 = 5 \cdot 45 = 225 \)

  • \( \log_6 225 \)

    • Шаг 4 (Проверка условия в учебнике): Если условие должно привести к целому числу, возможно, в третьем слагаемом \( 45 \) должно быть другим числом, например, \( \sqrt[3]{3} \). Если считать, что условие должно быть вычислимым, как целое число, предположим, что должно быть \( 3 \log_6 \sqrt[3]{3} \).

  • Если условие \( 3 \log_6 \sqrt[3]{3} \) (вместо \( 45 \)): \( 3 \log_6 3^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot \frac{1}{3} \log_6 3 = \log_6 3 \)

  • Тогда выражение \( \log_6 \frac{1}{4} + \log_6 20 + \log_6 3 = \log_6 \left( \frac{1}{4} \cdot 20 \cdot 3 \right) = \log_6 15 \). Тоже не целое.

    • Возвращаемся к исходному условию.

  • \( \log_6 225 \)

    • Ответ: \( \log_6 225 \) (Так как \( 225 = 15^2 \) и не является степенью \( 6 \), ответ остается в виде логарифма.)

    Что применять при решении

    Основное логарифмическое тождество

    Степень, основание которой равно основанию логарифма, а показатель равен логарифму числа по этому основанию, равна самому числу.
    \( a^{\log_a b} = b \)

    Логарифм произведения

    Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию. Основание логарифма должно быть положительным и отличным от единицы.
    \( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \)

    Логарифм частного (дроби)

    Логарифм частного (дроби) двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел по тому же основанию.
    \( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \)

    Логарифм степени

    Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.
    \( \log_a b^r = r \log_a b \)

    Формула перехода к новому основанию

    Логарифм числа b по основанию a равен отношению логарифма числа b по новому основанию p к логарифму числа a по новому основанию p. Обычно используется для преобразований и вычислений.
    \( \log_a b = \frac{\log_p b}{\log_p a} \)

    Логарифм по основанию, являющемуся степенью

    Свойство, позволяющее выносить показатель степени основания логарифма как множитель, обратный показателю.
    \( \log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b \)

    Не сходится своя задача? Разберём по шагам

    • Формула, подстановка и расчёт
    • Числа считает калькулятор, а не нейросеть
    • Бесплатно и без регистрации
    Решить задачу Разбор задачи бесплатный

    Другие упражнения из параграфа § 16

    290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300

    Данные параграфа

    К параграфу →
    Глава
    Глава 4
    Параграф
    § 16 — Свойства логарифмов
    Учебник
    Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
    Автор
    Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
    Год
    2025

    Задали работу по этой теме?

    Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.

    Создать проект Готовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.

    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.