ГДЗ: Упражнение 299 - § 16 (Свойства логарифмов) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пусть \( x = \log_{a^p} b \). По определению логарифма, это означает, что \( (a^p)^x = b \).

Используя свойство степеней, получаем: \( a^{px} = b \).

Возьмем логарифм обеих частей по основанию \( a \): \( \log_a (a^{px}) = \log_a b \).

По свойству логарифма степени: \( px \log_a a = \log_a b \).

Так как \( \log_a a = 1 \): \( px = \log_a b \).

Выразим \( x \): \( x = \frac{1}{p} \log_a b \).

Подставим выражение для \( x \): \( \log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b \). Доказано.

Применим доказанную формулу к первому слагаемому: \( \log_{36} 6 \). Представим \( 36 = 6^2 \).

\( \log_{6^2} 6 = \frac{1}{2} \log_6 6 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \)

Подставим результат в выражение:

\( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \log_3 6 \)

\( 2 \log_{5^2} 30 = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_5 30 = \log_5 30 \)

\( \log_{5^{-1}} 6 \)

Применим доказанную формулу: \( \frac{1}{-1} \log_5 6 = -\log_5 6 \)

\( \log_5 30 + (-\log_5 6) = \log_5 30 - \log_5 6 \)

\( \log_5 \frac{30}{6} = \log_5 5 \)

Используем \( \log_a a = 1 \): \( \log_5 5 = 1 \)