ГДЗ: Упражнение 297 - Параграф § 16 (Свойства логарифмов) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

297 упражнение:

Найти \( x \) по данному его логарифму \( (a > 0, b > 0) \):

1) \( \log_3 x = 4 \log_3 a + 7 \log_3 b \)

Ответ

Шаг 1: Применим свойство логарифма степени \( r \log_a b = \log_a b^r \) к правой части уравнения.

\( 4 \log_3 a = \log_3 a^4 \)

\( 7 \log_3 b = \log_3 b^7 \)

Уравнение примет вид:

\( \log_3 x = \log_3 a^4 + \log_3 b^7 \)

Шаг 2: Применим формулу логарифма произведения \( \log_a P + \log_a Q = \log_a (PQ) \) к правой части.

\( \log_3 x = \log_3 (a^4 b^7) \)

Шаг 3: Поскольку логарифмы по одинаковому основанию равны, то и их аргументы должны быть равны.

\( x = a^4 b^7 \)

Ответ: \( x = a^4 b^7 \)

2) \( \log_5 x = 2 \log_5 a - 3 \log_5 b \)

Ответ

Шаг 1: Применим свойство логарифма степени \( r \log_a b = \log_a b^r \) к правой части уравнения.

\( 2 \log_5 a = \log_5 a^2 \)

\( 3 \log_5 b = \log_5 b^3 \)

Уравнение примет вид:

\( \log_5 x = \log_5 a^2 - \log_5 b^3 \)

Шаг 2: Применим формулу логарифма частного \( \log_a P - \log_a Q = \log_a \frac{P}{Q} \) к правой части.

\( \log_5 x = \log_5 \frac{a^2}{b^3} \)

Шаг 3: Поскольку логарифмы по одинаковому основанию равны, то и их аргументы должны быть равны.

\( x = \frac{a^2}{b^3} \)

Ответ: \( x = \frac{a^2}{b^3} \)

3) \( \log_{\frac{1}{2}} x = \frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} a - \frac{3}{5} \log_{\frac{1}{2}} b \)

Ответ

Шаг 1: Применим свойство логарифма степени \( r \log_a b = \log_a b^r \) к правой части уравнения.

\( \frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} a = \log_{\frac{1}{2}} a^{\frac{2}{3}} = \log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{a^2} \)

\( \frac{3}{5} \log_{\frac{1}{2}} b = \log_{\frac{1}{2}} b^{\frac{3}{5}} = \log_{\frac{1}{2}} \sqrt[5]{b^3} \)

Уравнение примет вид:

\( \log_{\frac{1}{2}} x = \log_{\frac{1}{2}} a^{\frac{2}{3}} - \log_{\frac{1}{2}} b^{\frac{3}{5}} \)

Шаг 2: Применим формулу логарифма частного \( \log_a P - \log_a Q = \log_a \frac{P}{Q} \) к правой части.

\( \log_{\frac{1}{2}} x = \log_{\frac{1}{2}} \frac{a^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{3}{5}}} \)

Шаг 3: Поскольку логарифмы по одинаковому основанию равны, то и их аргументы должны быть равны.

\( x = \frac{a^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{3}{5}}} = \frac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[5]{b^3}} \)

Ответ: \( x = \frac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[5]{b^3}} \)

4) \( \log_2 x = \frac{1}{4} \log_2 a + \frac{4}{7} \log_2 b \)

Ответ

Шаг 1: Применим свойство логарифма степени \( r \log_a b = \log_a b^r \) к правой части уравнения.

\( \frac{1}{4} \log_2 a = \log_2 a^{\frac{1}{4}} = \log_2 \sqrt[4]{a} \)

\( \frac{4}{7} \log_2 b = \log_2 b^{\frac{4}{7}} = \log_2 \sqrt[7]{b^4} \)

Уравнение примет вид:

\( \log_2 x = \log_2 a^{\frac{1}{4}} + \log_2 b^{\frac{4}{7}} \)

Шаг 2: Применим формулу логарифма произведения \( \log_a P + \log_a Q = \log_a (PQ) \) к правой части.

\( \log_2 x = \log_2 (a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{4}{7}}) \)

Шаг 3: Поскольку логарифмы по одинаковому основанию равны, то и их аргументы должны быть равны.

\( x = a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{4}{7}} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[7]{b^4} \)

Ответ: \( x = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[7]{b^4} \)

Что применять при решении

Основное логарифмическое тождество

Степень, основание которой равно основанию логарифма, а показатель равен логарифму числа по этому основанию, равна самому числу.

\( a^{\log_a b} = b \)

Логарифм произведения

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию. Основание логарифма должно быть положительным и отличным от единицы.

\( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \)

Логарифм частного (дроби)

Логарифм частного (дроби) двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел по тому же основанию.

\( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \)

Логарифм степени

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

\( \log_a b^r = r \log_a b \)

Формула перехода к новому основанию

Логарифм числа b по основанию a равен отношению логарифма числа b по новому основанию p к логарифму числа a по новому основанию p. Обычно используется для преобразований и вычислений.

\( \log_a b = \frac{\log_p b}{\log_p a} \)

Логарифм по основанию, являющемуся степенью

Свойство, позволяющее выносить показатель степени основания логарифма как множитель, обратный показателю.

\( \log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b \)

Другие упражнения из параграфа § 16

290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 4
Параграф: § 16 — Свойства логарифмов
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.