ГДЗ: Упражнение 298 - § 16 (Свойства логарифмов) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

\( 36^{\log_6 5} = (6^2)^{\log_6 5} = 6^{2 \log_6 5} \)

Используем свойство логарифма степени: \( r \log_a b = \log_a b^r \): \( 6^{\log_6 5^2} = 6^{\log_6 25} \)

Используем основное логарифмическое тождество: \( a^{\log_a b} = b \). Получим: \( 25 \)

\( 10^{1 - \log_{10} 2} = \frac{10^1}{10^{\log_{10} 2}} \)

Используем основное логарифмическое тождество: \( 10^{\log_{10} 2} = 2 \).

\( \frac{10}{2} = 5 \)

\( 8^{\log_2 3} = (2^3)^{\log_2 3} = 2^{3 \log_2 3} \)

Используем свойство логарифма степени: \( 2^{\log_2 3^3} = 2^{\log_2 27} \)

Используем основное логарифмическое тождество: \( 27 \)

\( 25 + 5 - 27 = 3 \)

\( 81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \log_9 4} = 81^{\frac{1}{4}} \cdot 81^{-\frac{1}{2} \log_9 4} = 81^{\frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{81^{\frac{1}{2} \log_9 4}} \)

\( 81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = 3 \)

Знаменатель: \( 81^{\frac{1}{2} \log_9 4} = (9^2)^{\frac{1}{2} \log_9 4} = 9^{\log_9 4} = 4 \) (последовательно применили \( (a^p)^r = a^{pr} \) и \( a^{\log_a b} = b \)).

Первое слагаемое: \( 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)

\( 25^{\log_{125} 8} = (5^2)^{\log_{5^3} 8} = 5^{2 \log_{5^3} 8} \)

Используем свойство \( \log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b \): \( 5^{2 \cdot \frac{1}{3} \log_5 8} = 5^{\frac{2}{3} \log_5 8} \)

Используем свойство логарифма степени: \( 5^{\log_5 8^{\frac{2}{3}}} \). Применим основное логарифмическое тождество.

\( 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 \)

Второе слагаемое: \( 4 \)

\( 49^{\log_7 2} = (7^2)^{\log_7 2} = 7^{2 \log_7 2} = 7^{\log_7 2^2} = 7^{\log_7 4} = 4 \)

\( \left( \frac{3}{4} + 4 \right) \cdot 4 = \left( \frac{3}{4} + \frac{16}{4} \right) \cdot 4 = \frac{19}{4} \cdot 4 = 19 \)

\( 1 + \frac{1}{\log_4 5} = 1 + \log_5 4 \)

Используем свойство степеней: \( 16^{1 + \log_5 4} = 16^1 \cdot 16^{\log_5 4} = 16 \cdot 16^{\log_5 4} \)

Выражение не упрощается. Проверим, возможно, в исходном условии была опечатка и должно быть \( 1 + \frac{1}{\log_{16} 5} \).

Если \( 16^{1 + \frac{1}{\log_{16} 5}} = 16^{1 + \log_5 16} = 16 \cdot 16^{\log_5 16} \). Не упрощается.

Предположим, что основание логарифма \( \log_4 5 \) должно быть \( \log_{16} 5 \): \( 16^{1 + \frac{1}{\log_{16} 5}} = 16^{1 + \log_5 16} = 16 \cdot 16^{\log_5 16} \). Не упрощается.

Предположим, что основание логарифма \( \log_4 5 \) должно быть \( \log_4 16 \): \( 16^{1 + \frac{1}{\log_4 16}} = 16^{1 + \frac{1}{2}} = 16^{1.5} = 4^3 = 64 \).

\( 4^{2 \log_{16} 3 + 3 \log_8 5} = 4^{2 \log_{16} 3} \cdot 4^{3 \log_8 5} \)

Первый множитель: \( 4^{2 \log_{16} 3} = (16^{\frac{1}{2}})^{2 \log_{16} 3} = 16^{\log_{16} 3} = 3 \)

Второй множитель: \( 4^{3 \log_8 5} = (8^{\frac{2}{3}})^{3 \log_8 5} = 8^{2 \log_8 5} = 8^{\log_8 5^2} = 8^{\log_8 25} = 25 \)

Второе слагаемое: \( 3 \cdot 25 = 75 \)

\( 16 \cdot 16^{\log_5 4} + 75 \)

\( 72^{\log_7 9} \)

Представим \( 72 \) как \( 9 \cdot 8 \): \( (9 \cdot 8)^{\log_7 9} \). Не упрощается.

\( 49^{\log_7 \frac{3}{2}} = (7^2)^{\log_7 \frac{3}{2}} = 7^{2 \log_7 \frac{3}{2}} = 7^{\log_7 (\frac{3}{2})^2} = 7^{\log_7 \frac{9}{4}} \)

Используем основное логарифмическое тождество: \( \frac{9}{4} \)

\( 5^{-\log_{5^{\frac{1}{2}}} 4} \)

Используем свойство \( \log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b \): \( 5^{-\frac{1}{\frac{1}{2}} \log_5 4} = 5^{-2 \log_5 4} \)

Используем свойство логарифма степени: \( 5^{\log_5 4^{-2}} = 5^{\log_5 \frac{1}{16}} \)

Используем основное логарифмическое тождество: \( \frac{1}{16} \)

Если \( 72^{\log_7 9} \) должно быть \( 7^{\log_7 9} = 9 \). Тогда: \( 9 - \frac{9}{4} + \frac{1}{16} \)

\( 9 - 2.25 + 0.0625 = 6.8125 \). (Не целое.)

Вероятно, должно быть \( 72^{\log_7 7} = 72 \), но это будет только при \( \frac{1}{\log_9 7} = 1 \), что неверно.