ГДЗ: Упражнение 296 - § 16 (Свойства логарифмов) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Числитель: \( \log_2 24 - \log_2 \sqrt{72} = \log_2 \frac{24}{\sqrt{72}} \)

Рационализируем знаменатель под логарифмом: \( \frac{24}{\sqrt{72}} = \frac{24}{\sqrt{36 \cdot 2}} = \frac{24}{6\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \)

Числитель: \( \log_2 (2\sqrt{2}) = \log_2 (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) = \log_2 2^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \)

Знаменатель: \( \log_3 18 - \log_3 \sqrt[3]{72} = \log_3 \frac{18}{\sqrt[3]{72}} \)

Разложим числа на множители: \( 18 = 2 \cdot 3^2 \), \( 72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2 \).

Знаменатель: \( \log_3 \frac{18}{\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^2}} = \log_3 \frac{18}{2 \cdot 3^{\frac{2}{3}}} = \log_3 \frac{9}{3^{\frac{2}{3}}} = \log_3 \frac{3^2}{3^{\frac{2}{3}}} = \log_3 3^{2 - \frac{2}{3}} = \log_3 3^{\frac{4}{3}} = \frac{4}{3} \)

\( \frac{\frac{3}{2}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{8} \)

Предположение: Числитель: \( \log_{14} 2 - \frac{1}{2} \log_{14} 56 = \log_{14} 2 - \log_{14} \sqrt{56} = \log_{14} \frac{2}{\sqrt{56}} = \log_{14} \frac{2}{\sqrt{4 \cdot 14}} = \log_{14} \frac{2}{2\sqrt{14}} = \log_{14} \frac{1}{\sqrt{14}} = \log_{14} 14^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2} \)

Знаменатель: \( \log_6 30 - \log_6 \sqrt{150} = \log_6 \frac{30}{\sqrt{150}} \)

Рационализируем знаменатель под логарифмом: \( \frac{30}{\sqrt{150}} = \frac{30}{\sqrt{25 \cdot 6}} = \frac{30}{5\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} \)

Знаменатель: \( \log_6 \sqrt{6} = \log_6 6^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \)

\( \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = -1 \)

Числитель: \( \log_2 4 + \log_2 \sqrt{10} = \log_2 (4 \cdot \sqrt{10}) \)

Знаменатель: \( \log_2 20 + \log_2 2 \sqrt{2} = \log_2 (20 \cdot 2 \sqrt{2}) = \log_2 (40 \sqrt{2}) \)

\( \frac{\log_2 (4 \sqrt{10})}{\log_2 (40 \sqrt{2})} = \log_{40 \sqrt{2}} (4 \sqrt{10}) \)

Основание: \( 40 \sqrt{2} = 8 \cdot 5 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^3 \cdot 5 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{3.5} \cdot 5 \)

Аргумент: \( 4 \sqrt{10} = 2^2 \cdot \sqrt{2 \cdot 5} = 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 2^{2.5} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \)

Если в числителе \( \log_2 4 \cdot \sqrt{10} = \log_2 \sqrt{160} \), а в знаменателе \( \log_2 40 \sqrt{2} = \log_2 \sqrt{3200} \).

\( \frac{\log_2 \sqrt{160}}{\log_2 \sqrt{3200}} = \frac{\frac{1}{2} \log_2 160}{\frac{1}{2} \log_2 3200} = \log_{3200} 160 \)

\( 3200 = 20 \cdot 160 \). \( \log_{3200} 160 = \log_{20 \cdot 160} 160 \). Не упрощается.

Числитель: \( \log_4 2 + \log_4 3 = \log_4 (2 \cdot 3) = \log_4 6 \)

Знаменатель: \( \log_4 16 + \log_4 8 = \log_4 (16 \cdot 8) = \log_4 128 \)

\( \frac{\log_4 6}{\log_4 128} = \log_{128} 6 \)

Представим основание \( 128 \) и аргумент \( 6 \) как степени двойки (только для проверки): \( 128 = 2^7 \). \( \log_{2^7} 6 = \frac{1}{7} \log_2 6 \).