ГДЗ: Упражнение 300 - § 16 (Свойства логарифмов) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Преобразуем искомое выражение \( \log_{\sqrt{3}} 50 \). Используем доказанную формулу \( \log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b \). Здесь \( \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} \).

Шаг 2: Выразим \( 50 \) через \( 15 \) и \( 10 \). \( 50 = 5 \cdot 10 \). \( 15 = 3 \cdot 5 \). Отсюда \( 5 = \frac{15}{3} \). Тогда \( 50 = \frac{15}{3} \cdot 10 \).

Шаг 3: Применим свойства логарифмов к выражению \( \log_3 \left( \frac{15 \cdot 10}{3} \right) \).

Шаг 4: Подставим данные значения \( \log_3 15 = a \) и \( \log_3 10 = b \).

Ответ: \( 2(a + b - 1) \)

Шаг 1: Преобразуем искомое выражение \( \log_4 1250 \). Применим формулу \( \log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b \). Представим основание \( 4 = 2^2 \).

Шаг 2: Разложим логарифмируемое число \( 1250 \) на простые множители. \( 1250 = 125 \cdot 10 = 5^3 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 5^4 \).

Шаг 3: Применим формулу логарифма произведения: \( \log_a (PQ) = \log_a P + \log_a Q \).

Шаг 4: Упростим слагаемые: \( \log_2 2 = 1 \). Используем свойство логарифма степени: \( \log_2 5^4 = 4 \log_2 5 \).

Шаг 5: Подставим данное значение \( \log_2 5 = a \).

Ответ: \( \frac{1}{2} (1 + 4a) \)