ГДЗ: Упражнение 442 - § 24 (Знаки синуса, косинуса и тангенса) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Угол \(\frac{3\pi}{4}\) находится в интервале \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), то есть \(\frac{2\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} < \frac{4\pi}{4}\).
Этот интервал соответствует II четверти.
Ответ: II четверть.
3)
\(\alpha = -\frac{3\pi}{4}\)
Ответ
Шаг 1: Анализ угла.
Угол \(\alpha = -\frac{3\pi}{4}\) отрицательный, что соответствует повороту по часовой стрелке.
Шаг 2: Определение четверти.
При повороте по часовой стрелке: \((0; -\frac{\pi}{2})\) — IV четверть. \((-\frac{\pi}{2}; -\pi)\) — III четверть.
Угол \(\alpha = -\frac{3\pi}{4}\) находится в интервале \(-\pi < \alpha < -\frac{\pi}{2}\), так как \(-\pi = -\frac{4\pi}{4}\) и \(-\frac{\pi}{2} = -\frac{2\pi}{4}\), то \(-\frac{4\pi}{4} < -\frac{3\pi}{4} < -\frac{2\pi}{4}\).
Угол \(\frac{7\pi}{6}\) находится в интервале \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\), то есть \(\frac{6\pi}{6} < \frac{7\pi}{6} < \frac{9\pi}{6}\).
Этот интервал соответствует III четверти.
Ответ: III четверть.
6)
\(\alpha = 4,8\)
Ответ
Шаг 1: Анализ угла.
Угол \(\alpha = 4,8\) радиан. Необходимо сравнить его с границами четвертей, выраженными в радианах. Используем приближенное значение \(\pi \approx 3,14\).
Шаг 2: Определение четверти.
Границы четвертей: \( \pi \approx 3,14 \) (конец II четверти) \( \frac{3\pi}{2} \approx 1,5 \cdot 3,14 = 4,71 \) (конец III четверти) \( 2\pi \approx 6,28 \) (конец IV четверти)
Угол \(\alpha = 4,8\) находится в интервале \(\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\), так как \(4,71 < 4,8 < 6,28\).
Этот интервал соответствует IV четверти.
Ответ: IV четверть.
7)
\(\alpha = -1,31\)
Ответ
Шаг 1: Анализ угла.
Угол \(\alpha = -1,31\) радиан отрицательный (поворот по часовой стрелке).
Шаг 2: Определение четверти.
Границы четвертей для отрицательного угла: \( -\frac{\pi}{2} \approx -1,57 \) (конец IV четверти) \( -\pi \approx -3,14 \) (конец III четверти)
Угол \(\alpha = -1,31\) находится в интервале \(-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0\), так как \(-1,57 < -1,31 < 0\).
Этот интервал соответствует IV четверти.
Ответ: IV четверть.
8)
\(\alpha = -2,7\)
Ответ
Шаг 1: Анализ угла.
Угол \(\alpha = -2,7\) радиан отрицательный.
Шаг 2: Определение четверти.
Границы четвертей для отрицательного угла: \( -\frac{\pi}{2} \approx -1,57 \) (конец IV четверти) \( -\pi \approx -3,14 \) (конец III четверти)
Угол \(\alpha = -2,7\) находится в интервале \(-\pi < \alpha < -\frac{\pi}{2}\), так как \(-3,14 < -2,7 < -1,57\).
Этот интервал соответствует III четверти.
Ответ: III четверть.
Что применять при решении
Знаки синуса (sin \(\alpha\))
Синус \(\sin \alpha\) — это ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки \((1; 0)\) на угол \(\alpha\).
Положителен в I и II четвертях \((0 < \alpha < \pi)\). Отрицателен в III и IV четвертях \((\pi < \alpha < 2\pi)\).
Знаки косинуса (cos \(\alpha\))
Косинус \(\cos \alpha\) — это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки \((1; 0)\) на угол \(\alpha\).
Положителен в I и IV четвертях \((-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2})\). Отрицателен во II и III четвертях \((\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2})\).
Знаки тангенса (tg \(\alpha\)) и котангенса (ctg \(\alpha\))
Тангенс \(\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) и котангенс \(\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) имеют одинаковые знаки.
Положительны в I и III четвертях (где \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) имеют одинаковые знаки). Отрицательны во II и IV четвертях (где \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) имеют разные знаки).
Формулы, позволяющие выразить тригонометрические функции углов \(\frac{\pi}{2} \pm \alpha\), \(\pi \pm \alpha\), \(\frac{3\pi}{2} \pm \alpha\), \(2\pi \pm \alpha\) через функции угла \(\alpha\).
Ключевые правила: 1. Функция меняется на кофункцию, если угол имеет вид \(\frac{\pi}{2} \pm \alpha\) или \(\frac{3\pi}{2} \pm \alpha\). 2. Знак определяется четвертью, в которую попадает исходный угол (считая, что \(\alpha\) - острый).
Функции \(\sin \alpha\), \(\cos \alpha\), \(\text{tg} \alpha\) и \(\text{ctg} \alpha\) являются периодическими.
Основной период для синуса и косинуса — \(2\pi\), для тангенса и котангенса — \(\pi\).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
