ГДЗ: Упражнение 455 - § 24 (Знаки синуса, косинуса и тангенса) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
В какой четверти находится точка, соответствующая числу \(\alpha\), если:
1)
\(\sin \alpha + \cos \alpha = -1,4\)
Ответ
Шаг 1: Анализ условий.
Дано: \( \sin \alpha + \cos \alpha = -1,4 \).
Сумма двух чисел отрицательна, что возможно, если хотя бы одно из них отрицательно.
Шаг 2: Ограничения по значению.
Поскольку \( \sin \alpha \ge -1 \) и \( \cos \alpha \ge -1 \), наименьшее возможное значение суммы равно \(-2\) (при \(\alpha = \pi\), где \(\sin \pi = 0, \cos \pi = -1\); или \(\alpha = \frac{3\pi}{2}\), где \(\sin \frac{3\pi}{2} = -1, \cos \frac{3\pi}{2} = 0\)).
Для достижения значения \(-1,4\), оба слагаемых должны быть отрицательными или одно должно быть отрицательным, а другое — положительным (или нулем), при этом отрицательное должно быть больше по модулю.
Шаг 3: Проверка четвертей.
I четверть: \(\sin \alpha > 0, \cos \alpha > 0\). Сумма положительна. Не подходит.
II четверть: \(\sin \alpha > 0, \cos \alpha < 0\). Сумма может быть отрицательной (например, \(\sin \frac{2\pi}{3} \approx 0,866, \cos \frac{2\pi}{3} = -0,5\), сумма \(0,366\)). Не подходит для \(-1,4\), так как для суммы \(-1,4\), \(\cos \alpha\) должен быть сильно отрицательным, а \(\sin \alpha\) — положительным, но \(\sin \alpha \le 1\), поэтому \(\cos \alpha\) должно быть меньше \(-2,4\), что невозможно. Следовательно, не подходит.
IV четверть: \(\sin \alpha < 0, \cos \alpha > 0\). Аналогично II четверти. \(\cos \alpha \le 1\), поэтому \(\sin \alpha\) должно быть меньше \(-2,4\), что невозможно. Следовательно, не подходит.
III четверть: \(\sin \alpha < 0, \cos \alpha < 0\). Сумма отрицательна. Например, при \(\alpha = \frac{5\pi}{4}\) (середина III четверти), \( \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0,707 \), \( \cos \frac{5\pi}{4} \approx -0,707 \). Сумма: \(-0,707 + (-0,707) = -1,414\). Это очень близко к \(-1,4\).
Вывод: Единственная четверть, где оба слагаемых отрицательны, и их сумма может достигать значения, близкого к \(-1,4\), — это III четверть.
Ответ: III четверть.
2)
\(\sin \alpha - \cos \alpha = 1,4\)
Ответ
Шаг 1: Анализ условий.
Дано: \( \sin \alpha - \cos \alpha = 1,4 \).
Сумма \(\sin \alpha + (-\cos \alpha) = 1,4\). Поскольку \( \sin \alpha \le 1 \) и \( \cos \alpha \ge -1 \), то \( -\cos \alpha \le 1 \).
Для того чтобы разность была положительной и большой (\(1,4\)), \(\sin \alpha\) должно быть положительным, а \(\cos \alpha\) — отрицательным, или \(\sin \alpha\) должно быть сильно положительным, а \(\cos \alpha\) — слабо положительным.
I четверть: \(\sin \alpha > 0, \cos \alpha > 0\). Разность может быть от \(-1\) до \(1\). \(\sin \alpha - \cos \alpha = 1,4\) невозможно.
IV четверть: \(\sin \alpha < 0, \cos \alpha > 0\). Разность: \( (-) - (+) = (-) \). Всегда отрицательна. Не подходит.
II четверть: \(\sin \alpha > 0, \cos \alpha < 0\). Разность: \( (+) - (-) = (+) \). В этой четверти \(\sin \alpha\) положительно, а \(\cos \alpha\) отрицательно. Разность \(\sin \alpha - \cos \alpha = \sin \alpha + |\cos \alpha|\) будет положительной и наибольшей. Например, при \(\alpha = \frac{3\pi}{4}\), разность \( \frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \approx 1,414 \). Это удовлетворяет условию.
Вывод: Единственная четверть, где \(\sin \alpha > 0\) и \(\cos \alpha < 0\), и их разность может достигать значения \(1,4\), — это II четверть.
Ответ: II четверть.
Что применять при решении
Знаки синуса (sin \(\alpha\))
Синус \(\sin \alpha\) — это ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки \((1; 0)\) на угол \(\alpha\).
Положителен в I и II четвертях \((0 < \alpha < \pi)\). Отрицателен в III и IV четвертях \((\pi < \alpha < 2\pi)\).
Знаки косинуса (cos \(\alpha\))
Косинус \(\cos \alpha\) — это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки \((1; 0)\) на угол \(\alpha\).
Положителен в I и IV четвертях \((-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2})\). Отрицателен во II и III четвертях \((\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2})\).
Знаки тангенса (tg \(\alpha\)) и котангенса (ctg \(\alpha\))
Тангенс \(\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) и котангенс \(\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) имеют одинаковые знаки.
Положительны в I и III четвертях (где \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) имеют одинаковые знаки). Отрицательны во II и IV четвертях (где \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) имеют разные знаки).
Формулы, позволяющие выразить тригонометрические функции углов \(\frac{\pi}{2} \pm \alpha\), \(\pi \pm \alpha\), \(\frac{3\pi}{2} \pm \alpha\), \(2\pi \pm \alpha\) через функции угла \(\alpha\).
Ключевые правила: 1. Функция меняется на кофункцию, если угол имеет вид \(\frac{\pi}{2} \pm \alpha\) или \(\frac{3\pi}{2} \pm \alpha\). 2. Знак определяется четвертью, в которую попадает исходный угол (считая, что \(\alpha\) - острый).
Функции \(\sin \alpha\), \(\cos \alpha\), \(\text{tg} \alpha\) и \(\text{ctg} \alpha\) являются периодическими.
Основной период для синуса и косинуса — \(2\pi\), для тангенса и котангенса — \(\pi\).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
