ГДЗ: Упражнение 451 - § 24 (Знаки синуса, косинуса и тангенса) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Найти значения углов, заключённых в промежутке от \( 0 \) до \( 2\pi \), знаки синуса и косинуса которых совпадают; различны.
1)
Знаки синуса и косинуса совпадают
Ответ
Шаг 1: Анализ условий.
Знаки \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) совпадают, когда они оба положительны или оба отрицательны.
Период рассмотрения: \( 0 \le \alpha < 2\pi \).
Шаг 2: Случай 1: \(\sin \alpha > 0\) и \(\cos \alpha > 0\).
Обе функции положительны в I четверти.
Интервал: \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \).
Шаг 3: Случай 2: \(\sin \alpha < 0\) и \(\cos \alpha < 0\).
Обе функции отрицательны в III четверти.
Интервал: \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \).
Шаг 4: Объединение результатов.
Знаки совпадают в интервалах: \( (0; \frac{\pi}{2}) \) и \( (\pi; \frac{3\pi}{2}) \).
Ответ: Знаки синуса и косинуса совпадают, если угол \(\alpha\) принадлежит \( (0; \frac{\pi}{2}) \cup (\pi; \frac{3\pi}{2}) \).
2)
Знаки синуса и косинуса различны
Ответ
Шаг 1: Анализ условий.
Знаки \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) различны, когда одна функция положительна, а другая отрицательна.
Период рассмотрения: \( 0 \le \alpha < 2\pi \).
Шаг 2: Случай 1: \(\sin \alpha > 0\) и \(\cos \alpha < 0\).
\(\sin \alpha\) положительна, \(\cos \alpha\) отрицательна в II четверти.
Интервал: \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \).
Шаг 3: Случай 2: \(\sin \alpha < 0\) и \(\cos \alpha > 0\).
\(\sin \alpha\) отрицательна, \(\cos \alpha\) положительна в IV четверти.
Интервал: \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \).
Шаг 4: Объединение результатов.
Знаки различны в интервалах: \( (\frac{\pi}{2}; \pi) \) и \( (\frac{3\pi}{2}; 2\pi) \).
Ответ: Знаки синуса и косинуса различны, если угол \(\alpha\) принадлежит \( (\frac{\pi}{2}; \pi) \cup (\frac{3\pi}{2}; 2\pi) \).
Что применять при решении
Знаки синуса (sin \(\alpha\))
Синус \(\sin \alpha\) — это ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки \((1; 0)\) на угол \(\alpha\).
Положителен в I и II четвертях \((0 < \alpha < \pi)\). Отрицателен в III и IV четвертях \((\pi < \alpha < 2\pi)\).
Знаки косинуса (cos \(\alpha\))
Косинус \(\cos \alpha\) — это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки \((1; 0)\) на угол \(\alpha\).
Положителен в I и IV четвертях \((-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2})\). Отрицателен во II и III четвертях \((\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2})\).
Знаки тангенса (tg \(\alpha\)) и котангенса (ctg \(\alpha\))
Тангенс \(\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) и котангенс \(\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) имеют одинаковые знаки.
Положительны в I и III четвертях (где \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) имеют одинаковые знаки). Отрицательны во II и IV четвертях (где \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) имеют разные знаки).
Формулы, позволяющие выразить тригонометрические функции углов \(\frac{\pi}{2} \pm \alpha\), \(\pi \pm \alpha\), \(\frac{3\pi}{2} \pm \alpha\), \(2\pi \pm \alpha\) через функции угла \(\alpha\).
Ключевые правила: 1. Функция меняется на кофункцию, если угол имеет вид \(\frac{\pi}{2} \pm \alpha\) или \(\frac{3\pi}{2} \pm \alpha\). 2. Знак определяется четвертью, в которую попадает исходный угол (считая, что \(\alpha\) - острый).
Функции \(\sin \alpha\), \(\cos \alpha\), \(\text{tg} \alpha\) и \(\text{ctg} \alpha\) являются периодическими.
Основной период для синуса и косинуса — \(2\pi\), для тангенса и котангенса — \(\pi\).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
