ГДЗ: Упражнение 449 - § 24 (Знаки синуса, косинуса и тангенса) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Пусть \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \). Определить знак числа:
1)
\(\sin (\pi - \alpha)\)
Ответ
Шаг 1: Определение четверти.
Поскольку \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), угол \(\pi - \alpha\) лежит в интервале \( \frac{\pi}{2} < \pi - \alpha < \pi \) (см. 443.1).
Это II четверть.
Шаг 2: Определение знака синуса.
В II четверти \(\sin \alpha\) положителен. (По формуле приведения: \( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha > 0 \)).
Ответ: Положительный.
2)
\(\cos (\frac{\pi}{2} + \alpha)\)
Ответ
Шаг 1: Определение четверти.
Поскольку \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), угол \(\frac{\pi}{2} + \alpha\) лежит в интервале \( \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} + \alpha < \pi \) (см. 443.4).
Это II четверть.
Шаг 2: Определение знака косинуса.
В II четверти \(\cos \alpha\) отрицателен. (По формуле приведения: \( \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha \). Так как \(\alpha\) в I четверти, \(\sin \alpha > 0\), следовательно, \( -\sin \alpha < 0 \)).
Поскольку \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), угол \( \pi - \alpha \) лежит в II четверти (см. 443.1).
Шаг 3: Определение знака косинуса.
Во II четверти \(\cos \alpha\) отрицателен. (По формуле приведения: \( \cos (\pi - \alpha) = -\cos \alpha \). Так как \(\alpha\) в I четверти, \(\cos \alpha > 0\), следовательно, \( -\cos \alpha < 0 \)).
Ответ: Отрицательный.
4)
\(\text{tg} (\frac{\pi}{2} - \alpha)\)
Ответ
Шаг 1: Определение четверти.
Поскольку \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), угол \(\frac{\pi}{2} - \alpha\) лежит в интервале \( 0 < \frac{\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{2} \) (см. 443.5).
Это I четверть.
Шаг 2: Определение знака тангенса.
В I четверти \(\text{tg} \alpha\) положителен. (По формуле приведения: \( \text{tg} (\frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg} \alpha \). Так как \(\alpha\) в I четверти, \(\text{ctg} \alpha > 0 \)).
Ответ: Положительный.
5)
\(\text{tg} (\frac{3\pi}{2} - \alpha)\)
Ответ
Шаг 1: Определение четверти.
Поскольку \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), угол \(\frac{3\pi}{2} - \alpha\) лежит в интервале \( \pi < \frac{3\pi}{2} - \alpha < \frac{3\pi}{2} \) (см. 443.3).
Это III четверть.
Шаг 2: Определение знака тангенса.
В III четверти \(\text{tg} \alpha\) положителен. (По формуле приведения: \( \text{tg} (\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg} \alpha \). Так как \(\alpha\) в I четверти, \(\text{ctg} \alpha > 0 \)).
Ответ: Положительный.
6)
\(\sin (\pi - \alpha)\)
Ответ
Шаг 1: Определение четверти.
Поскольку \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), угол \(\pi - \alpha\) лежит в интервале \( \frac{\pi}{2} < \pi - \alpha < \pi \) (см. 443.1).
Это II четверть.
Шаг 2: Определение знака синуса.
В II четверти \(\sin \alpha\) положителен. (По формуле приведения: \( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \). Так как \(\alpha\) в I четверти, \(\sin \alpha > 0 \)).
Ответ: Положительный.
Что применять при решении
Знаки синуса (sin \(\alpha\))
Синус \(\sin \alpha\) — это ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки \((1; 0)\) на угол \(\alpha\).
Положителен в I и II четвертях \((0 < \alpha < \pi)\). Отрицателен в III и IV четвертях \((\pi < \alpha < 2\pi)\).
Знаки косинуса (cos \(\alpha\))
Косинус \(\cos \alpha\) — это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки \((1; 0)\) на угол \(\alpha\).
Положителен в I и IV четвертях \((-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2})\). Отрицателен во II и III четвертях \((\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2})\).
Знаки тангенса (tg \(\alpha\)) и котангенса (ctg \(\alpha\))
Тангенс \(\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) и котангенс \(\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) имеют одинаковые знаки.
Положительны в I и III четвертях (где \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) имеют одинаковые знаки). Отрицательны во II и IV четвертях (где \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) имеют разные знаки).
Формулы, позволяющие выразить тригонометрические функции углов \(\frac{\pi}{2} \pm \alpha\), \(\pi \pm \alpha\), \(\frac{3\pi}{2} \pm \alpha\), \(2\pi \pm \alpha\) через функции угла \(\alpha\).
Ключевые правила: 1. Функция меняется на кофункцию, если угол имеет вид \(\frac{\pi}{2} \pm \alpha\) или \(\frac{3\pi}{2} \pm \alpha\). 2. Знак определяется четвертью, в которую попадает исходный угол (считая, что \(\alpha\) - острый).
Функции \(\sin \alpha\), \(\cos \alpha\), \(\text{tg} \alpha\) и \(\text{ctg} \alpha\) являются периодическими.
Основной период для синуса и косинуса — \(2\pi\), для тангенса и котангенса — \(\pi\).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
