ГДЗ: Упражнение 450 - Параграф § 24 (Знаки синуса, косинуса и тангенса) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

450 упражнение:

Каковы знаки чисел \(\sin \alpha\), \(\cos \alpha\), \(\text{tg} \alpha\), \(\text{ctg} \alpha\), если \( 5\pi < \alpha < \frac{11\pi}{2} \)?

1)

Ответ

Шаг 1: Приведение угла.

Данный интервал: \( 5\pi < \alpha < \frac{11\pi}{2} \).
Выделим целое число оборотов \(2\pi k\). Сравним границы с четными и нечетными числами \(\pi\):
\( 5\pi = 4\pi + \pi \).
\( \frac{11\pi}{2} = \frac{10\pi + \pi}{2} = 5\pi + \frac{\pi}{2} = 4\pi + \pi + \frac{\pi}{2} \).
Интервал эквивалентен \( \pi < \alpha' < \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} \), если вычесть \(4\pi\).

Шаг 2: Определение четверти.

Интервал \( \pi < \alpha' < \frac{3\pi}{2} \) соответствует III четверти.

Шаг 3: Определение знаков.

В III четверти:
\(\sin \alpha\) (ордината) — отрицателен.
\(\cos \alpha\) (абсцисса) — отрицателен.
\(\text{tg} \alpha\) (отношение отрицательных чисел) — положителен.
\(\text{ctg} \alpha\) (обратная величина \(\text{tg} \alpha\)) — положителен.

Ответ: \(\sin \alpha < 0\), \(\cos \alpha < 0\), \(\text{tg} \alpha > 0\), \(\text{ctg} \alpha > 0\).

Что применять при решении

Знаки синуса (sin \(\alpha\))

Синус \(\sin \alpha\) — это ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки \((1; 0)\) на угол \(\alpha\). Положителен в I и II четвертях \((0 < \alpha < \pi)\). Отрицателен в III и IV четвертях \((\pi < \alpha < 2\pi)\).

Знаки косинуса (cos \(\alpha\))

Косинус \(\cos \alpha\) — это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки \((1; 0)\) на угол \(\alpha\). Положителен в I и IV четвертях \((-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2})\). Отрицателен во II и III четвертях \((\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2})\).

Знаки тангенса (tg \(\alpha\)) и котангенса (ctg \(\alpha\))

Тангенс \(\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) и котангенс \(\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) имеют одинаковые знаки. Положительны в I и III четвертях (где \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) имеют одинаковые знаки). Отрицательны во II и IV четвертях (где \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) имеют разные знаки).

\( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \); \( \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)

Формулы приведения

Формулы, позволяющие выразить тригонометрические функции углов \(\frac{\pi}{2} \pm \alpha\), \(\pi \pm \alpha\), \(\frac{3\pi}{2} \pm \alpha\), \(2\pi \pm \alpha\) через функции угла \(\alpha\). Ключевые правила: 1. Функция меняется на кофункцию, если угол имеет вид \(\frac{\pi}{2} \pm \alpha\) или \(\frac{3\pi}{2} \pm \alpha\). 2. Знак определяется четвертью, в которую попадает исходный угол (считая, что \(\alpha\) - острый).

\( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \); \( \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha \); \( \text{tg} (2\pi + \alpha) = \text{tg} \alpha \)

Периодичность тригонометрических функций

Функции \(\sin \alpha\), \(\cos \alpha\), \(\text{tg} \alpha\) и \(\text{ctg} \alpha\) являются периодическими. Основной период для синуса и косинуса — \(2\pi\), для тангенса и котангенса — \(\pi\).

\( \sin (\alpha + 2\pi k) = \sin \alpha \); \( \cos (\alpha + 2\pi k) = \cos \alpha \); \( \text{tg} (\alpha + \pi k) = \text{tg} \alpha \); \( k \in \mathbb{Z} \)

Другие упражнения из параграфа § 24

442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 5
Параграф: § 24 — Знаки синуса, косинуса и тангенса
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.