ГДЗ: Упражнение 503 - § 29 (Синус, косинус и тангенс двойного угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Используем формулу \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \). Находим \( \cos \alpha \) из основного тождества, учитывая, что в III четверти \( \cos \alpha < 0 \).

Решение:

1. Находим \( \cos \alpha \):

• \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \).
• Так как \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \), то \( \cos \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} \).

2. Вычисляем \( \sin 2\alpha \):

• \( \sin 2\alpha = 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{24}{25} \).

Ответ: \( -\frac{24}{25} \).

Пояснение: Используем формулу \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \). Находим \( \sin \alpha \) из основного тождества, учитывая, что в III четверти \( \sin \alpha < 0 \).

Решение:

1. Находим \( \sin \alpha \):

• \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \).
• Так как \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \), то \( \sin \alpha = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5} \).

2. Вычисляем \( \sin 2\alpha \):

• \( \sin 2\alpha = 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{24}{25} \).

Ответ: \( \frac{24}{25} \).