ГДЗ: Упражнение 506 - § 29 (Синус, косинус и тангенс двойного угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Используем формулу приведения \( \cos(90^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha \) и формулу синуса двойного угла \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).

Решение:

1. Преобразуем \( \cos 50^{\circ} \): \( \cos 50^{\circ} = \cos (90^{\circ} - 40^{\circ}) = \sin 40^{\circ} \).

2. Исходное выражение: \( \cos 40^{\circ} \sin 40^{\circ} \).

3. Домножим и разделим на 2: \( \frac{1}{2} (2 \sin 40^{\circ} \cos 40^{\circ}) \).

4. Применяем формулу синуса двойного угла: \( \frac{1}{2} \sin (2 \cdot 40^{\circ}) = \frac{1}{2} \sin 80^{\circ} \).

Ответ: \( \frac{1}{2} \sin 80^{\circ} \).

Пояснение: Используем формулу приведения \( \cos(90^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha \) и формулу \( 1 - \cos 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha \).

Решение:

1. Преобразуем \( \cos 65^{\circ} \): \( \cos 65^{\circ} = \cos (90^{\circ} - 25^{\circ}) = \sin 25^{\circ} \).

2. Исходное выражение: \( 2 \sin 25^{\circ} \sin 25^{\circ} = 2 \sin^2 25^{\circ} \).

3. Применяем формулу понижения степени: \( 2 \sin^2 25^{\circ} = 1 - \cos (2 \cdot 25^{\circ}) = 1 - \cos 50^{\circ} \).

Ответ: \( 1 - \cos 50^{\circ} \).

Пояснение: Раскрываем квадрат суммы, используя формулы \( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + \sin 2\alpha \).

Решение:

1. Раскрываем квадрат: \( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1 + \sin 2\alpha \).

2. Исходное выражение: \( \sin 2\alpha + (1 + \sin 2\alpha) = 1 + 2 \sin 2\alpha \).

Ответ: \( 1 + 2 \sin 2\alpha \).

Пояснение: Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x \). Для \( \cos 4\alpha \), где \( x = 2\alpha \).

Решение:

1. Заменим \( \cos 4\alpha \): \( \cos 4\alpha = 1 - 2 \sin^2 2\alpha \).

2. Исходное выражение: \( (1 - 2 \sin^2 2\alpha) + \sin^2 2\alpha = 1 - \sin^2 2\alpha \).

3. По основному тождеству: \( 1 - \sin^2 2\alpha = \cos^2 2\alpha \).

Ответ: \( \cos^2 2\alpha \).