ГДЗ: Упражнение 511 - § 29 (Синус, косинус и тангенс двойного угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Упростим числитель и знаменатель левой части и правую часть, используя формулы двойного угла, приведения и сложения.

Решение:

1. Упростим числитель (Ч) ЛЧ: \( Ч = -(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = -\cos 2\alpha \).

2. Упростим знаменатель (З) ЛЧ:

• \( З = \cos \alpha + \cos \alpha \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \sin \alpha - \sin \alpha \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)
• \( З = (\cos \alpha - \sin \alpha) + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} \)
• \( З = (\cos \alpha - \sin \alpha) + \frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} \) - Этот путь сложен. Идем другим:
• \( З = (\sin \alpha + \cos \alpha) \left(\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}\right) = (\sin \alpha + \cos \alpha) \frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} \)

3. Упростим ЛЧ: \( ЛЧ = \frac{-\cos 2\alpha}{(\sin \alpha + \cos \alpha) \frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}} = - \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} \).

4. Упростим правую часть (ПЧ):

• Числитель ПЧ: \( 2 \sqrt{2} \sin \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = 2 \sqrt{2} \left(\sin \alpha \cos \frac{\pi}{4} - \cos \alpha \sin \frac{\pi}{4}\right) \)
• \( = 2 \sqrt{2} \left(\sin \alpha \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos \alpha \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha - \cos \alpha) = 2 (\sin \alpha - \cos \alpha) \)

5. ПЧ: \( \frac{2 (\sin \alpha - \cos \alpha)}{\sin 2\alpha} = \frac{2 (\sin \alpha - \cos \alpha)}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} \).

6. Сравнение: \( ЛЧ = - \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} \) и \( ПЧ = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} \). Тождество неверно.

Ответ: Тождество, как дано, неверно. Упрощение ЛЧ: \( - \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} \).