ГДЗ: Упражнение 509 - § 29 (Синус, косинус и тангенс двойного угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Возведем обе части равенства в квадрат, чтобы получить выражение \( \sin 2\alpha \) с помощью формул \( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + \sin 2\alpha \).

Решение:

1. Возводим в квадрат: \( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \).

2. Раскрываем: \( \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{1}{4} \).

3. Применяем формулы: \( 1 + \sin 2\alpha = \frac{1}{4} \).

4. Вычисляем \( \sin 2\alpha \): \( \sin 2\alpha = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4} \).

Ответ: \( -\frac{3}{4} \).

Пояснение: Возведем обе части равенства в квадрат, чтобы получить выражение \( \sin 2\alpha \) с помощью формул \( (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - \sin 2\alpha \).

Решение:

1. Возводим в квадрат: \( (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \left(-\frac{1}{3}\right)^2 \).

2. Раскрываем: \( \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{1}{9} \).

3. Применяем формулы: \( 1 - \sin 2\alpha = \frac{1}{9} \).

4. Вычисляем \( \sin 2\alpha \): \( \sin 2\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \).

Ответ: \( \frac{8}{9} \).