ГДЗ: Упражнение 508 - § 29 (Синус, косинус и тангенс двойного угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Данное тождество неверно, так как правильная формула синуса двойного угла: \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \). Вероятно, в учебнике опечатка.

Решение (по исправленной формуле):

Если тождество: \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).

ЛЧ: \( \sin 2\alpha \).

ПЧ: \( 2 \sin \alpha \cos \alpha \).

Это базовая формула синуса двойного угла, которая доказывается из формулы синуса суммы: \( \sin 2\alpha = \sin(\alpha + \alpha) = \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \). \( ЛЧ = ПЧ \).

Ответ: Тождество, как дано, неверно. Правильное тождество \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \) доказано.

Пояснение: Раскрываем левую часть и применяем основное тождество и формулу синуса двойного угла.

Решение:

Рассмотрим левую часть (ЛЧ):

\( ЛЧ = (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha \).

Группируем слагаемые: \( (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - (2 \sin \alpha \cos \alpha) \).

Используем \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) и \( 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha \):

\( ЛЧ = 1 - \sin 2\alpha \).

Это равно правой части (ПЧ). Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Пояснение: Разложим левую часть как разность квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) и применим основное тождество и формулу косинуса двойного угла.

Решение:

Рассмотрим левую часть (ЛЧ):

\( ЛЧ = \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) \).

Используем \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \) и \( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha \):

\( ЛЧ = (\cos 2\alpha) \cdot (1) = \cos 2\alpha \).

Это равно правой части (ПЧ). Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Пояснение: Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 \).

Решение:

Рассмотрим левую часть (ЛЧ):

\( ЛЧ = 2 \cos^2 \alpha - \cos 2\alpha \).

Подставим формулу для \( \cos 2\alpha \): \( ЛЧ = 2 \cos^2 \alpha - (2 \cos^2 \alpha - 1) \).

Раскрываем скобки: \( ЛЧ = 2 \cos^2 \alpha - 2 \cos^2 \alpha + 1 = 1 \).

Это равно правой части (ПЧ). Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.