ГДЗ: Упражнение 510 - § 29 (Синус, косинус и тангенс двойного угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Разложим числитель ЛЧ по формуле \( \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \) и сократим.

Решение:

1. Упростим левую часть (ЛЧ): \( \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} = \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{\sin \alpha + \cos \alpha} \).

2. Сокращаем: \( ЛЧ = \cos \alpha - \sin \alpha \).

3. Преобразуем правую часть (ПЧ): \( ПЧ = \operatorname{ctg} \alpha - 1 = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - 1 = \frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\sin \alpha} \).

4. Сравнение: \( \cos \alpha - \sin \alpha \neq \frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\sin \alpha} \). Тождество неверно, вероятно, в учебнике опечатка. Если бы в знаменателе было \( \cos \alpha - \sin \alpha \), то ЛЧ = \( \cos \alpha + \sin \alpha \).

Ответ: Тождество, как дано, неверно. Упрощение ЛЧ: \( \cos \alpha - \sin \alpha \).

Пояснение: Используем формулы \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \) и \( 1 - \cos 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha \).

Решение:

1. Упростим числитель (Ч): \( Ч = 2 \sin \alpha \cos \alpha - 2 \sin \alpha = 2 \sin \alpha (\cos \alpha - 1) \).

2. Упростим знаменатель (З): \( З = 2 \sin^2 \alpha - \cos \alpha \).

3. Левая часть (ЛЧ): \( \frac{2 \sin \alpha (\cos \alpha - 1)}{2 \sin^2 \alpha - \cos \alpha} \). Тождество неверно, вероятно, опечатка.

Ответ: Тождество, как дано, неверно. Упрощение ЛЧ: \( \frac{2 \sin \alpha (\cos \alpha - 1)}{2 \sin^2 \alpha - \cos \alpha} \).

Пояснение: Используем формулы \( 1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha \) и \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).

Решение:

1. Рассмотрим левую часть (ЛЧ): \( \operatorname{tg} \alpha (1 + \cos 2\alpha) = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot (2 \cos^2 \alpha) \).

2. Сокращаем \( \cos \alpha \) (при \( \cos \alpha \neq 0 \)): \( 2 \sin \alpha \cos \alpha \).

3. По формуле синуса двойного угла: \( 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha \).

Это равно правой части (ПЧ). Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Пояснение: Используем формулы \( 1 - \cos 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha \), \( 1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha \) и \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).

Решение:

1. Упростим числитель (Ч) дроби: \( Ч = 2 \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \sin \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha) \).

2. Упростим знаменатель (З) дроби: \( З = 2 \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cos \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha) \).

3. Упростим дробь: \( \frac{Ч}{З} = \frac{2 \sin \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)}{2 \cos \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha)} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha \) (при \( \sin \alpha + \cos \alpha \neq 0 \) и \( \cos \alpha \neq 0 \)).

4. Левая часть: \( ЛЧ = \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 \).

Это равно правой части (ПЧ). Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Пояснение: Используем формулы: \( 1 - 2 \cos^2 \alpha = -(\cos 2\alpha) \) и \( 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = \sin^2 2\alpha \).

Решение:

1. Числитель (Ч): \( (1 - 2 \cos^2 \alpha)^2 = (-(2 \cos^2 \alpha - 1))^2 = (-\cos 2\alpha)^2 = \cos^2 2\alpha \).

2. Знаменатель (З): \( 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = (2 \sin \alpha \cos \alpha)^2 = (\sin 2\alpha)^2 = \sin^2 2\alpha \).

3. Левая часть: \( ЛЧ = \frac{\cos^2 2\alpha}{\sin^2 2\alpha} = \left(\frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}\right)^2 = \operatorname{ctg}^2 2\alpha \).

Это равно правой части (ПЧ). Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Пояснение: Используем формулу косинуса двойного угла: \( 1 - 2 \sin^2 x = \cos 2x \) и формулу приведения \( \cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x \).

Решение:

1. Левая часть (ЛЧ) по формуле \( 1 - 2 \sin^2 x = \cos 2x \), где \( x = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \): \( ЛЧ = \cos \left(2 \cdot \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)\right) \).

2. Упростим аргумент: \( 2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - \alpha \).

3. ЛЧ: \( \cos \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \).

4. По формуле приведения: \( \cos \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha \).

Это равно правой части (ПЧ). Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Пояснение: Используем \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \) и \( 1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha \) для разложения числителя и знаменателя.

Решение:

1. Упростим числитель (Ч): \( Ч = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha (1 + 2 \cos \alpha) \).

2. Упростим знаменатель (З): \( З = (1 + \cos 2\alpha) + \cos \alpha = 2 \cos^2 \alpha + \cos \alpha = \cos \alpha (2 \cos \alpha + 1) \).

3. Левая часть: \( ЛЧ = \frac{\sin \alpha (1 + 2 \cos \alpha)}{\cos \alpha (2 \cos \alpha + 1)} \).

4. Сокращаем: \( ЛЧ = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha \) (при \( 1 + 2 \cos \alpha \neq 0 \) и \( \cos \alpha \neq 0 \)).

Это равно правой части (ПЧ). Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.