А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
514 упражнение:
Найти числовое значение выражения:
1)
\( 2 \cos^2 \frac{\pi}{8} - 1 \)
Ответ
Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 \) .
Шаг 1: Применим формулу, где \( \alpha = \frac{\pi}{8} \).\( 2 \cos^2 \frac{\pi}{8} - 1 = \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \cos \frac{\pi}{4} \)
Шаг 2: Найдем табличное значение.\( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).
2)
\( 1 - 2 \sin^2 \frac{\pi}{12} \)
Ответ
Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \) .
Шаг 1: Применим формулу, где \( \alpha = \frac{\pi}{12} \).\( 1 - 2 \sin^2 \frac{\pi}{12} = \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = \cos \frac{\pi}{6} \)
Шаг 2: Найдем табличное значение.\( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).
3)
\( \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \sin^2 15^\circ \)
Ответ
Используем формулу понижения степени: \( 2 \sin^2 \alpha = 1 - \cos 2\alpha \) .
Шаг 1: Заменим \( 2 \sin^2 15^\circ \). \( 2 \cdot 15^\circ = 30^\circ \).\( 2 \sin^2 15^\circ = 1 - \cos 30^\circ \)
Шаг 2: Подставим в исходное выражение.\( \frac{\sqrt{3}}{2} + (1 - \cos 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Шаг 3: Упростим.\( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 1 \)
Ответ: \( 1 \).
4)
\( -\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cos^2 15^\circ \)
Ответ
Используем формулу понижения степени: \( 2 \cos^2 \alpha = 1 + \cos 2\alpha \) .
Шаг 1: Заменим \( 2 \cos^2 15^\circ \). \( 2 \cdot 15^\circ = 30^\circ \).\( 2 \cos^2 15^\circ = 1 + \cos 30^\circ \)
Шаг 2: Подставим в исходное выражение.\( -\frac{\sqrt{3}}{2} + (1 + \cos 30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Шаг 3: Упростим.\( -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 1 \)
Ответ: \( 1 \).
Что применять при решении
Формулы понижения степени (для косинуса и синуса)
Формулы, позволяющие выразить квадрат косинуса или синуса угла через косинус удвоенного угла. Получены из формулы косинуса двойного угла: \( \cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} \).
\( \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} \) \( \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2} \)
Формулы синуса и косинуса половинного угла
Формулы, позволяющие найти синус или косинус половинного угла по известному косинусу целого угла. При использовании этих формул знак выражения определяется четвертью, в которой лежит угол \( \frac{\alpha}{2} \).
\( \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} \) \( \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \)
Формулы тангенса половинного угла
Формулы, позволяющие найти тангенс половинного угла. Тангенс половинного угла можно выразить через синус и косинус целого угла. Для \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \).
\( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Универсальная тригонометрическая подстановка
Формулы, выражающие основные тригонометрические функции \( (\sin \alpha, \cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha) \) через тангенс половинного угла \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \).
\( \sin \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \cos \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \)
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа § 30
Глава
Глава 5
Параграф
§ 30 — Синус, косинус и тангенс половинного угла
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
