А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
521 упражнение:
Доказать, что если \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), то \( \sqrt{1 + \sin \alpha} - \sqrt{1 - \sin \alpha} = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \).
1)
Ответ
Преобразуем подкоренные выражения, используя формулы: \( 1 = \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} \) и \( \sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \).
Шаг 1: Преобразуем подкоренные выражения к полному квадрату.\( 1 + \sin \alpha = \left(\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}\right)^2 \)
\( 1 - \sin \alpha = \left(\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}\right)^2 \)
Шаг 2: Заменим в ЛЧ. Учтем условие \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), откуда \( 0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4} \). В этом интервале \( \cos \frac{\alpha}{2} > \sin \frac{\alpha}{2} > 0 \). \( \text{ЛЧ} = \left|\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}\right| - \left|\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}\right| \)
Шаг 3: Раскроем модули (оба выражения положительны).\( \text{ЛЧ} = \left(\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}\right) - \left(\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}\right) \)
Шаг 4: Упростим.\( \text{ЛЧ} = \cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} = 2 \sin \frac{\alpha}{2} = \text{ПЧ} \)
Тождество доказано.
Что применять при решении
Формулы понижения степени (для косинуса и синуса)
Формулы, позволяющие выразить квадрат косинуса или синуса угла через косинус удвоенного угла. Получены из формулы косинуса двойного угла: \( \cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} \).
\( \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} \) \( \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2} \)
Формулы синуса и косинуса половинного угла
Формулы, позволяющие найти синус или косинус половинного угла по известному косинусу целого угла. При использовании этих формул знак выражения определяется четвертью, в которой лежит угол \( \frac{\alpha}{2} \).
\( \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} \) \( \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \)
Формулы тангенса половинного угла
Формулы, позволяющие найти тангенс половинного угла. Тангенс половинного угла можно выразить через синус и косинус целого угла. Для \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \).
\( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Универсальная тригонометрическая подстановка
Формулы, выражающие основные тригонометрические функции \( (\sin \alpha, \cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha) \) через тангенс половинного угла \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \).
\( \sin \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \cos \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \)
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа § 30
Глава
Глава 5
Параграф
§ 30 — Синус, косинус и тангенс половинного угла
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
