А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
517 упражнение:
Вычислить:
1)
\( \sin 15^\circ \)
Ответ
Используем формулу синуса половинного угла: \( \sin \alpha = \sqrt{\frac{1 - \cos 2\alpha}{2}} \) . \( 2\alpha = 30^\circ \).
Шаг 1: Применим формулу. \( 15^\circ \) – I четверть, синус положительный.\( \sin 15^\circ = \sqrt{\frac{1 - \cos 30^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \)
Шаг 2: Упростим корень. \( \sqrt{2 - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \) (для \( 15^\circ \)).\( \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \)
Ответ: \( \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \) или \( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \).
2)
\( \cos 15^\circ \)
Ответ
Используем формулу косинуса половинного угла: \( \cos \alpha = \sqrt{\frac{1 + \cos 2\alpha}{2}} \) . \( 2\alpha = 30^\circ \).
Шаг 1: Применим формулу. \( 15^\circ \) – I четверть, косинус положительный.\( \cos 15^\circ = \sqrt{\frac{1 + \cos 30^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \)
Шаг 2: Упростим корень. \( \sqrt{2 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \).\( \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)
Ответ: \( \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \) или \( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \).
3)
\( \operatorname{tg} 22^\circ 30' \)
Ответ
Угол \( 22^\circ 30' = \left(\frac{45}{2}\right)^\circ \). Используем формулу тангенса половинного угла: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} \) . \( 2\alpha = 45^\circ \).
Шаг 1: Применим формулу.\( \operatorname{tg} 22^\circ 30' = \frac{1 - \cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \)
Шаг 2: Упростим выражение.\( \operatorname{tg} 22^\circ 30' = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{(2 - \sqrt{2})\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2} - 2}{2} = \sqrt{2} - 1 \)
Ответ: \( \sqrt{2} - 1 \).
4)
\( \operatorname{ctg} 22^\circ 30' \)
Ответ
Котангенс обратен тангенсу: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \) .
Шаг 1: Используем результат из п. 3).\( \operatorname{ctg} 22^\circ 30' = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \)
Шаг 2: Избавимся от иррациональности в знаменателе.\( \operatorname{ctg} 22^\circ 30' = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1 \)
Ответ: \( \sqrt{2} + 1 \).
Что применять при решении
Формулы понижения степени (для косинуса и синуса)
Формулы, позволяющие выразить квадрат косинуса или синуса угла через косинус удвоенного угла. Получены из формулы косинуса двойного угла: \( \cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} \).
\( \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} \) \( \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2} \)
Формулы синуса и косинуса половинного угла
Формулы, позволяющие найти синус или косинус половинного угла по известному косинусу целого угла. При использовании этих формул знак выражения определяется четвертью, в которой лежит угол \( \frac{\alpha}{2} \).
\( \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} \) \( \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \)
Формулы тангенса половинного угла
Формулы, позволяющие найти тангенс половинного угла. Тангенс половинного угла можно выразить через синус и косинус целого угла. Для \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \).
\( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Универсальная тригонометрическая подстановка
Формулы, выражающие основные тригонометрические функции \( (\sin \alpha, \cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha) \) через тангенс половинного угла \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \).
\( \sin \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \cos \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \)
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа § 30
Глава
Глава 5
Параграф
§ 30 — Синус, косинус и тангенс половинного угла
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
