ГДЗ: Упражнение 519 - Параграф § 30 (Синус, косинус и тангенс половинного угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

519 упражнение:

Доказать тождество:

1) \( 2 \cos^2 (\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) = 1 + \sin \alpha \)

Ответ

Преобразуем ЛЧ, используя формулу понижения степени: \( 2 \cos^2 x = 1 + \cos 2x \).

Шаг 1: Применим формулу к ЛЧ, где \( x = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \). \( 2x = \frac{\pi}{2} - \alpha \).

\( \text{ЛЧ} = 1 + \cos \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \)

Шаг 2: Применим формулу приведения \( \cos (\frac{\pi}{2} - y) = \sin y \).

\( \text{ЛЧ} = 1 + \sin \alpha = \text{ПЧ} \)

Тождество доказано.

2) \( 2 \sin^2 (\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) = 1 - \sin \alpha \)

Ответ

Преобразуем ЛЧ, используя формулу понижения степени: \( 2 \sin^2 x = 1 - \cos 2x \).

Шаг 1: Применим формулу к ЛЧ, где \( x = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \). \( 2x = \frac{\pi}{2} - \alpha \).

\( \text{ЛЧ} = 1 - \cos \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \)

Шаг 2: Применим формулу приведения \( \cos (\frac{\pi}{2} - y) = \sin y \).

\( \text{ЛЧ} = 1 - \sin \alpha = \text{ПЧ} \)

Тождество доказано.

3) \( \frac{3 - 4 \cos \alpha + \cos 4\alpha}{3 + 4 \cos \alpha + \cos 4\alpha} = \operatorname{tg}^4 \alpha \)

Ответ

Данное тождество, вероятно, содержит опечатку в учебнике. Прямое доказательство приводит к сложным выражениям, которые не упрощаются до \( \operatorname{tg}^4 \alpha \) (например, \( \frac{1 - \cos 4\alpha}{1 + \cos 4\alpha} = \operatorname{tg}^2 2\alpha \)).

Оставляем без решения ввиду явной ошибки в условии.

4) \( \frac{1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha} = \operatorname{ctg} \alpha \)

Ответ

Преобразуем ЛЧ, используя формулы двойного угла: \( 1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha \), \( 1 - \cos 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha \), \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).

Шаг 1: Преобразуем числитель (Ч).

\( \text{Ч} = (1 + \cos 2\alpha) + \sin 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cos \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha) \)

Шаг 2: Преобразуем знаменатель (З).

\( \text{З} = (1 - \cos 2\alpha) + \sin 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \sin \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha) \)

Шаг 3: Разделим Ч на З.

\( \text{ЛЧ} = \frac{2 \cos \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha)}{2 \sin \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha = \text{ПЧ} \)

Тождество доказано.

Что применять при решении

Формулы понижения степени (для косинуса и синуса)

Формулы, позволяющие выразить квадрат косинуса или синуса угла через косинус удвоенного угла. Получены из формулы косинуса двойного угла: \( \cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} \).

\( \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} \) \( \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2} \)

Формулы синуса и косинуса половинного угла

Формулы, позволяющие найти синус или косинус половинного угла по известному косинусу целого угла. При использовании этих формул знак выражения определяется четвертью, в которой лежит угол \( \frac{\alpha}{2} \).

\( \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} \) \( \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \)

Формулы тангенса половинного угла

Формулы, позволяющие найти тангенс половинного угла. Тангенс половинного угла можно выразить через синус и косинус целого угла. Для \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \).

\( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \)

Универсальная тригонометрическая подстановка

Формулы, выражающие основные тригонометрические функции \( (\sin \alpha, \cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha) \) через тангенс половинного угла \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \).

\( \sin \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \cos \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \)

Другие упражнения из параграфа § 30

513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 5
Параграф: § 30 — Синус, косинус и тангенс половинного угла
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.