А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
515 упражнение:
Пусть \( \cos \alpha = 0,6 \) и \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \). Вычислить:
1)
\( \sin \frac{\alpha}{2} \)
Ответ
Используем формулу синуса половинного угла: \( \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \) .
Шаг 1: Определим знак. Так как \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), то \( 0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4} \). Угол в первой четверти , синус положительный (+).\( \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - 0,6}{2}} = \sqrt{\frac{0,4}{2}} = \sqrt{0,2} \)
Шаг 2: Представим в виде точной дроби.\( \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \)
Ответ: \( \sqrt{0,2} \) или \( \frac{\sqrt{5}}{5} \).
2)
\( \cos \frac{\alpha}{2} \)
Ответ
Используем формулу косинуса половинного угла: \( \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} \) .
Шаг 1: Определим знак. Угол \( \frac{\alpha}{2} \) в первой четверти , косинус положительный (+).\( \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + 0,6}{2}} = \sqrt{\frac{1,6}{2}} = \sqrt{0,8} \)
Шаг 2: Представим в виде точной дроби.\( \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \)
Ответ: \( \sqrt{0,8} \) или \( \frac{2\sqrt{5}}{5} \).
3)
\( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \)
Ответ
Используем формулу тангенса половинного угла: \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} \) .
Шаг 1: Используем результаты из п. 1) и 2).\( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{0,2}}{\sqrt{0,8}} = \sqrt{\frac{0,2}{0,8}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \)
Альтернатива: \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \). Сначала \( \sin \alpha = 0,8 \).\( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - 0,6}{0,8} = \frac{0,4}{0,8} = 0,5 \)
Ответ: \( 0,5 \).
4)
\( \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} \)
Ответ
Котангенс обратен тангенсу: \( \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}} \) .
Шаг 1: Используем результат из п. 3).\( \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{0,5} = 2 \)
Ответ: \( 2 \).
Что применять при решении
Формулы понижения степени (для косинуса и синуса)
Формулы, позволяющие выразить квадрат косинуса или синуса угла через косинус удвоенного угла. Получены из формулы косинуса двойного угла: \( \cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} \).
\( \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} \) \( \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2} \)
Формулы синуса и косинуса половинного угла
Формулы, позволяющие найти синус или косинус половинного угла по известному косинусу целого угла. При использовании этих формул знак выражения определяется четвертью, в которой лежит угол \( \frac{\alpha}{2} \).
\( \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} \) \( \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \)
Формулы тангенса половинного угла
Формулы, позволяющие найти тангенс половинного угла. Тангенс половинного угла можно выразить через синус и косинус целого угла. Для \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \).
\( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Универсальная тригонометрическая подстановка
Формулы, выражающие основные тригонометрические функции \( (\sin \alpha, \cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha) \) через тангенс половинного угла \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \).
\( \sin \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \cos \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \)
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа § 30
Глава
Глава 5
Параграф
§ 30 — Синус, косинус и тангенс половинного угла
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
