ГДЗ: Упражнение 516 - Параграф § 30 (Синус, косинус и тангенс половинного угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

516 упражнение:

Пусть \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Вычислить:

1) \( \sin \frac{\alpha}{2} \)

Ответ

Сначала найдем \( \cos \alpha \). \( \alpha \) во второй четверти, косинус отрицателен.

Шаг 1: Найдем \( \cos \alpha \).

\( \cos \alpha = -\sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = -\frac{4}{5} \)

Шаг 2: Определим знак для \( \sin \frac{\alpha}{2} \). Так как \( \frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2} \), синус положительный (+).

\( \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{4}{5})}{2}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \)

Ответ: \( \frac{3\sqrt{10}}{10} \).

2) \( \cos \frac{\alpha}{2} \)

Ответ

Используем формулу косинуса половинного угла: \( \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} \). \( \cos \alpha = -\frac{4}{5} \).

Шаг 1: Определим знак. Угол \( \frac{\alpha}{2} \) в первой четверти, косинус положительный (+).

\( \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + (-\frac{4}{5})}{2}} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{10}}{10} \).

3) \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \)

Ответ

Используем формулу тангенса половинного угла: \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} \).

Шаг 1: Используем результаты из п. 1) и 2).

\( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{10}}{10}} = 3 \)

Альтернатива: \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{4}{5}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{1}{5}} = 3 \)

Ответ: \( 3 \).

4) \( \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} \)

Ответ

Котангенс обратен тангенсу: \( \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}} \).

Шаг 1: Используем результат из п. 3).

\( \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3} \)

Ответ: \( \frac{1}{3} \).

Что применять при решении

Формулы понижения степени (для косинуса и синуса)

Формулы, позволяющие выразить квадрат косинуса или синуса угла через косинус удвоенного угла. Получены из формулы косинуса двойного угла: \( \cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} \).

\( \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} \) \( \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2} \)

Формулы синуса и косинуса половинного угла

Формулы, позволяющие найти синус или косинус половинного угла по известному косинусу целого угла. При использовании этих формул знак выражения определяется четвертью, в которой лежит угол \( \frac{\alpha}{2} \).

\( \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} \) \( \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \)

Формулы тангенса половинного угла

Формулы, позволяющие найти тангенс половинного угла. Тангенс половинного угла можно выразить через синус и косинус целого угла. Для \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \).

\( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \)

Универсальная тригонометрическая подстановка

Формулы, выражающие основные тригонометрические функции \( (\sin \alpha, \cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha) \) через тангенс половинного угла \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \).

\( \sin \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \cos \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \)

Другие упражнения из параграфа § 30

513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 5
Параграф: § 30 — Синус, косинус и тангенс половинного угла
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.