А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
522 упражнение:
Упростить выражение \( \frac{\operatorname{tg} 2\alpha}{\operatorname{tg} 4\alpha - \operatorname{tg} 2\alpha} \).
1)
Ответ
Используем формулу тангенса двойного угла: \( \operatorname{tg} 2x = \frac{2 \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^2 x} \) . Применим ее для \( \operatorname{tg} 4\alpha \): \( \operatorname{tg} 4\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} 2\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 2\alpha} \).
Шаг 1: Преобразуем знаменатель (З).\( \text{З} = \operatorname{tg} 4\alpha - \operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} 2\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 2\alpha} - \operatorname{tg} 2\alpha \)
Шаг 2: Приведем к общему знаменателю.\( \text{З} = \frac{2 \operatorname{tg} 2\alpha - \operatorname{tg} 2\alpha (1 - \operatorname{tg}^2 2\alpha)}{1 - \operatorname{tg}^2 2\alpha} = \frac{\operatorname{tg} 2\alpha + \operatorname{tg}^3 2\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 2\alpha} \)
Шаг 3: Вынесем \( \operatorname{tg} 2\alpha \) в числителе З.\( \text{З} = \frac{\operatorname{tg} 2\alpha (1 + \operatorname{tg}^2 2\alpha)}{1 - \operatorname{tg}^2 2\alpha} \)
Шаг 4: Разделим числитель \( \operatorname{tg} 2\alpha \) на З.\( \frac{\operatorname{tg} 2\alpha}{\text{З}} = \operatorname{tg} 2\alpha \cdot \frac{1 - \operatorname{tg}^2 2\alpha}{\operatorname{tg} 2\alpha (1 + \operatorname{tg}^2 2\alpha)} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 2\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 2\alpha} \)
Шаг 5: Применим формулу косинуса двойного угла через тангенс: \( \cos 2x = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} \) . Здесь \( x = 2\alpha \).\( \frac{1 - \operatorname{tg}^2 2\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 2\alpha} = \cos (2 \cdot 2\alpha) = \cos 4\alpha \)
Ответ: \( \cos 4\alpha \).
Что применять при решении
Формулы понижения степени (для косинуса и синуса)
Формулы, позволяющие выразить квадрат косинуса или синуса угла через косинус удвоенного угла. Получены из формулы косинуса двойного угла: \( \cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} \).
\( \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} \) \( \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2} \)
Формулы синуса и косинуса половинного угла
Формулы, позволяющие найти синус или косинус половинного угла по известному косинусу целого угла. При использовании этих формул знак выражения определяется четвертью, в которой лежит угол \( \frac{\alpha}{2} \).
\( \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} \) \( \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \)
Формулы тангенса половинного угла
Формулы, позволяющие найти тангенс половинного угла. Тангенс половинного угла можно выразить через синус и косинус целого угла. Для \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \).
\( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Универсальная тригонометрическая подстановка
Формулы, выражающие основные тригонометрические функции \( (\sin \alpha, \cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha) \) через тангенс половинного угла \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \).
\( \sin \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \cos \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \)
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа § 30
Глава
Глава 5
Параграф
§ 30 — Синус, косинус и тангенс половинного угла
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
